\(\text { Cho } \triangle A B C \text { có: } \cot ^{2} \frac{A}{2}+\cot ^{2} \frac{B}{2}+\cot ^{2} \frac{C}{2}=9\). Tam giác ABC là tam giác:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo định lý hàm cosin ta có:
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A \geq 2 b c-2 b c \cos A=4 b c \cdot \sin ^{2} \frac{A}{2} \Rightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \frac{A}{2}} \geq \frac{4 b c}{a^{2}} \Rightarrow \cot ^{2} \frac{A}{2} \geq \frac{4 b c}{a^{2}}-1\)
\(\begin{aligned} &\text { Chứng minh tương tự ta có: } \cot ^{2} \frac{B}{2} \geq \frac{4 a c}{b^{2}}-1 ; \cot ^{2} \frac{C}{2} \geq \frac{4 b c}{c^{2}}-1 \text { . }\\ &\text { Do đó: } \cot ^{2} \frac{A}{2}+\cot ^{2} \frac{B}{2}+\cot ^{2} \frac{C}{2} \geq \frac{4 b c}{a^{2}}+\frac{4 a c}{b^{2}}+\frac{4 a b}{c^{2}}-3 \geq 3 \sqrt[3]{\frac{4 b c}{a^{2}} \cdot \frac{4 a c}{b^{2}} \cdot \frac{4 a b}{c^{2}}}-3=9 \end{aligned}\)
\(\text { Dấu "=" xảy ra } \Leftrightarrow \triangle A B C \text { đều. }\)
Câu hỏi liên quan
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {2; - 5} \right);\overrightarrow b =\left( {7;7m} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5 ; B C= 7; C A=8. \text{ Tính độ dài đường cao CF?}\)
-
Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng:
-
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) khi điểm O nằm trong đoạn thẳng AB?
-
\(\text{Cho hai vec tơ }\overrightarrow a = \left( {2m - 1;1} \right);\overrightarrow b = \left( {3;2} \right).\text{ Tìm giá trị của m để }\vec a \bot \vec b.\)
-
Tích vô hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3} \right);\overrightarrow b = \left( {1;3} \right) \) là:
-
Trong hình vẽ dưới đây, tính 2 . ED FG , ta được :
-
Đơn giản các biểu thức \(B=\frac{1}{\sin x} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+\cos x}+\frac{1}{1-\cos x}}-\sqrt{2}\)(giả sử biểu thức có nghĩa)
ta được: -
\(\begin{aligned} &\text { Biết } \sin x+\cos x=m. \operatorname{Tìm} \,\,\sin x \cos x \end{aligned}\)
-
Tam giác ABC có A B=3, BC=8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết \(\cos A M B=\frac{5 \sqrt{13}}{26}\) và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC
-
Tam giác ABC có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Điều kiện để tam giác ABC vuông là?
-
Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 4\)và \(AC = 6\). Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Biết \(\overrightarrow{M H} \cdot \overrightarrow{M A}=k B C^{2}\). Giá trị của k là?
-
Cho \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4}\) với \({90^0} < \alpha < {180^0}\). Tính \(\tan \alpha \).
-
Cho biết \(\cos \alpha=-\frac{2}{3}\) Giá trị của \(P=\frac{\cot \alpha+3 \tan \alpha}{2 \cot \alpha+\tan \alpha}\)bằng bao nhiêu ?
-
\(\text { Cho tam giác } A B C \text { có: } 5(\sin A+3 \cos B)+9(\sin B+3 \cos A)=20\). Tam giác ABC là tam giác gì?
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=8: B C= 21 ; C A=17. \text{ Tính số đo của } \hat{B}\)
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {x - 4;y - 5} \right);\overrightarrow b \left( {3;1} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = - \overrightarrow b.\)
-
Trong tam giác ABC có \((b+c) \cos A+(a+c) \cos B+(a+b) \cos C\) bằng với
-
Tính giá trị biểu thức: \(\cos 30^{\circ} \cos 60^{\circ}-\sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ}\)
