Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AB=1\), \(AC=2\) và \(\widehat{BAC}=60{}^\circ .\) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
*Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\) Suy ra :\(AK=AB=KC=1\)
*Lại có \(\widehat{BAC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABK}=60{}^\circ ;\,\widehat{KBC}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABC}=90{}^\circ \left( 1 \right)\)
*Theo giả thiêt \(\widehat{ANC}=90{}^\circ \left( 2 \right)\)
* Chứng minh \(\widehat{AMC}=90{}^\circ \left( 3 \right)\)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & BC\bot SA;\,BC\bot AB\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAB \right) \\ & AM\bot SB\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC \\ \end{align}\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right);\,\left( 3 \right)\) suy ra các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\)nội tiếp đường tròn tâm \(K\), bán kính \(KA=KB=KC=KM=KN=\frac{1}{2}AC=1\).
