Cho \(\int_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x=3 . \text { Tính } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Đặt } 2 x+1=t \Rightarrow 12=\int_{1}^{3} f(t) \mathrm{d}\left(\frac{t-1}{2}\right)=\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \Rightarrow \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=24 \\ \text { Ta có } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \cdot 2 \sin x \cos x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \cdot f\left(\sin ^{2} x\right) \mathrm{d}(\sin x) \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \mathrm{d}\left(\sin ^{2} x\right)=\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3 \\ \Rightarrow \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=3+24=27 \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b\) là các số thực dương cho trước).
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} d x=a\) . Biểu thức P=2a-1 có giá trị là
-
Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn \(f(1)=\) và \(f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]\) Giá trị của \(\int_{1}^{2} f(x) d x\) bằng?
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-x-2}\) có giá trị bằng
-
Tích phân \(I=\int_{2}^{3} \frac{a^{2} x^{2}+2 x}{a x} d x\) có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
-
Tích phân \(I=\int_{-1}^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} d x\) có giá trị là
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=-x^{2}+3 x-2\) , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 2 . Quay (H ) xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là:
-
Tích phân \(\int_{0}^{2} k e^{x} d x\) (với k là hằng số ) có giá trị bằng
-
Cho hàm số y = f( x) = ax4+ bx2+ c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = f’(x). Đồ thị hàm số y = f( x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
-
Tính tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacaaMc8Ua % aeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaik % daaaaaniabgUIiYdaaaa!45B0! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} \)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x\) có giá trị là:
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt 6 \) và y = 6 - x và trục tùng là
-
Cho hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) , liên tục trên [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} f\left( {\tan \;x} \right)dx\) và\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx\), tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn \(3 f(x)+x \cdot f^{\prime}(x) \geq x^{2018} \quad \forall x \in[0 ; 1]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Hình (S) giới hạn bởi y = 3x + 2, Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox.
-
Tích phân: \(J = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}+a x+2\right) d x\) có giá trị là:
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 , y = 4x - 4 và y = -4x - 4
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{4}-3 x^{2}-4\) trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
