Cho x, y là những số thực thoả mãn \(x^2 - xy + y^2 = 1\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P = \frac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}\). Giá trị của A = M + 15m là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
+) \( 1 + xy = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1\)
vì \((x−y)^2=x^2+y^2−2xy≥0\)
+) \( {x^2} - xy + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 3xy \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - \frac{1}{3}\)
Khi đó:
\( P = \frac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2} + 1}}{{xy + 2}}\)
Đặt \( t = xy,{\mkern 1mu} t \in \left[ { - \frac{1}{3};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right]\), xét hàm số \( P = \frac{{ - {t^2} + 2t + 2}}{{t + 2}}\)
\( P' = \frac{{ - {t^2} - 4t + 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}};P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt 6 \)
Mà \( P\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{11}}{{15}};P\left( 1 \right) = 1;P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Khi đó: \( m = P\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{11}}{{15}};M = P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Vậy \( A = M + 15m = 17 - 2\sqrt 6 \)
Đáp án cần chọn là: A
