Mặt cầu (S) tâm I(2;1;−1) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)  với A(−12;1;1); B(0;−2;4); C(−5;−2;2). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình đa diện thì nó được gọi là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt2\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 Mặt phẳng \((\alpha)\) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Diện tích S của mặt cầu có bán kính \(R = a\sqrt 5 \) là

Một cái ly có dạng hình nón như sau

Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước bằng 1/2 chiều cao của ly (tính từ đỉnh nón đến miệng ly). Nếu bịt kín miệng ly rồi lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\). cắt hai mặt phẳng (P):x−2y+z=0 và (Q):x−z−2=0 theo các đường tròn giao tuyến với bán kính r₁ và r₂. Khi đó tỉ số \(\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng d cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.

Cho khối chóp\(S.ABCD\)có \(SA\bot (ABCD)\); đáy\(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với\(AB=BC=a;\)\(AD=2a\); \(SA=a\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\).

Cho \(I\left( {1; – 2;3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho \(AB = 2\sqrt 3 \).

Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R₁, R₂ ,R₃ đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng \(R_1 + R_2 + R_3\)

Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với trục hoành là

Cho bát diện đều, tính tỷ số giữa thể tích khối cầu nội tiếp và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện đều đó.

Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

Cho khối cầu có thể tích \( V = 4\pi a^3 , (a > 0) \) bán kính R của khối cầu trên theo a là:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA=a\sqrt{2}\) vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt \(SB,SD\) lần lượt tại \(E,F.\) Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm \(S,A,E,M,F\) nhận giá trị nào sau đây?

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\), có tâm \(I \in {\rm{Oy}}\) và bán kính bằng \(\sqrt {10} \) là:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;4} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 2)^2} = 27\) có phương trình:

Trong không gian Oxyz cho 4 điểm \(A\left( {1;\,1;0} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( { – 1;1;2} \right),D\left( {1; – 1;2} \right)\). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và đi qua giao điểm của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) .