Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}-1}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R} \backslash\{\pm 1\}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Mặt khác
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 4)}}{{(x + 1)}} = - \frac{3}{2}\) nên x=1 không phải là tiệm cận đứng.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^+}} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{(x - 4)}}{{(x + 1)}} = - \infty }\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{(x - 4)}}{{(x + 1)}} = + \infty } \end{array}\)Vậy x=-1 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận