Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin ^{2} x\right) \cos x d x\) kết quả là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin ^{2} x\right) \cos x \mathrm{d} x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos x+\sin ^{2} x \cos x\right) \mathrm{d} x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \cos x \mathrm{d} x=I_{1}+I_{2}\)
Tính \(I_1\text {: Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos x d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\sin x \end{array}\right.\right.\)\
\(\begin{array}{l} \text { Nên } I_{1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x =\left.(x \sin x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}+\left.\cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1 \end{array}\)
Tính \(I_{2}: \text { Đặt } u=\sin x . \text { Ta có } \mathrm{d} u=\cos x \mathrm{d} x . \text { Đổi cận: } x=0 \Rightarrow u=0 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow u=1\)
\(I_{2}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \cos x \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} u^{2} d u=\left.\frac{1}{3} u^{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3} . \text { Vậy } I=I_{1}+I_{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\). Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng
-
\(I=\int_{1}^{e} \frac{\ln x \sqrt[3]{2+\ln ^{2} x}}{x} d x\) là
-
Cho \(f\left( x \right), g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 5} ;\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 7\,} \). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và các đường thẳng \(x=a, x=b(a<b)\)
-
Biết rằng \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 \ln \left( {x + 1} \right)dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\) với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c.
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(1)=\frac{1}{3} \text { và } f^{\prime}(x)=[x f(x)]^{2} \text { với mọi } x \in \mathbb{R}\). Giá trị f (2) bằng ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{2}{x+1} & \text { khi } & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x-1 & \text { khi } & 1 \leq x \leq 3 \end{array}\right.\). Tính \(\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=a \sqrt{2}+b\). Giá trị của a.b là:
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(2) = 16, \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx\; = \;4\). Tính \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 xf'\left( {2x} \right)dx\)
-
Cho hàm số y = f( x) = ax4+ bx2+ c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = f’(x). Đồ thị hàm số y = f( x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng
-
Cho Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx} \)
-
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=\sqrt{\tan x}\) , trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{4}\) quanh trục hoành là:
-
Nếu \(\int_{-2}^{0}\left(4-e^{-x / 2}\right) d x=K-2 e\) thì giá trị của K là
-
Tích phân \(I=\int_{-2}^{-1} \frac{\left|x^{3}-3 x+2\right|}{x-1} d x\) có giá trị là
-
Tính tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b\). Phần nguyên của tổng a + b là ?
-
Nếu \(\displaystyle \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5,\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 2\) với \(\displaystyle a < d < b\) thì \(\displaystyle \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) bằng
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 2\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{2}-4} ; f(-3)=0\) . Tính giá trị biểu thức \(P=f(-4)+f(-1)+f(4)\)?
-
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ a;b]có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [ a;b] . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
-
Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a\). Tìm \(a\)
