Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0 \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \frac{3}{2}\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;2;1} \right)\), bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vì \(IA = \sqrt 2 > R\) và \(IB = \sqrt {82} > R\) nên hai điểm A, B nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì \(K\left( {1; – 2; – 1} \right)\) và K nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right).\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)\)
\( = M{K^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB} = M{K^2} – K{A^2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \(M{K^2}\) nhỏ nhất, tức là MK nhỏ nhất.
Đánh giá: Ta có \(IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK \ge IK – R\).
Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK – R, xảy ra khi I, M, K thẳng hàng và M nằm giữa hai điểm I, K. Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {IK} = \left( {2; – 4; – 2} \right), IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM\).
Suy ra \(\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ – 4 = 4\left( {b – 2} \right)\\ – 2 = 4\left( {c – 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy a + b + c = 1
