Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right), B\left( {3;{\rm{ }}0; – 1} \right), C\left( {0;{\rm{ }}21; – 19} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). \(M\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)\)
Gọi \(G\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là điểm thỏa \(3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {0 – x} \right) + 2\left( {3 – x} \right) + \left( {0 – x} \right) = 0\\3\left( {1 – y} \right) + 2\left( {0 – y} \right) + \left( {21 – y} \right) = 0\\3\left( {1 – z} \right) + 2\left( { – 1 – z} \right) + \left( { – 19 – z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\\z = – 3\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;{\rm{ }}4; – 3} \right)\)
Lúc này ta có:
\(\begin{array}{c}T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\\ = 3M{G^2} + 6\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 3G{A^2} + 2M{G^2} + 4\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\end{array}\)
Vì \(3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\) có giá trị là một số thực không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Kho đó M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Phương trình đường thẳng \(IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\end{array} \right.\)
\(M = IG \cap \left( S \right)\) nên tọa độ M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{5}\\t = – \frac{1}{5}\end{array} \right.\). Khi đó: \(\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\\{M_2}\left( {1;\,\frac{2}{5};\,\frac{9}{5}} \right)\end{array} \right.\)
Vì \({M_1}G < {M_2}G\) nên điểm \(M \equiv {M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\)
Vậy \(a + b + c = \frac{{14}}{5}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9\) và hai điểm \(A(4\,;\,3\,;\,1), B(3\,;\,1\,;\,3); M\) là điểm thay đổi trên (S). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2M{A^2} – M{B^2}\). Xác định m – n.
-
Cho mặt cầu \(S\left( O;R \right),A\) là một điểm ở trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng \({{60}^{0}}.\) Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng
-
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm I(-2;1;3) và mặt phẳng\((P):2 x-y+2 z-10=0 \text { . }\) . Tính bán kính r của mặt cầu (S), biết rằng (S) có tâm I và nó cắt (P) theo một đường tròn (T) có chu vi bằng \(10\pi\) .
-
Giá trị \(\alpha\) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } \right)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0\)? \((k\in Z)\)
-
Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem đóng băng có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng bán kính hình cầu. Biết rằng khi kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy ốc quế và thể tích phần kem sau khi tan chảy bằng 75% thể tích phần kem đóng băng. Tỷ số giữa chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình nón bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là trung điểm H của cạnh \(BC.\) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Gọi G là trọng tâm tam giác \(SAC,R\) là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( SAB \right).\) Đẳng thức nào sau đây sai?
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng \(a\). Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính bằng:
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
-
Khối cầu thể tích V thì bán kính là:
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z + 2 = 0.\) Độ dài đường kính của mặt cầu \((S)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm nào?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại B và \(BC=a.\) Cạnh bên SA vuông góc với đáy \(\left( ABC \right)\). Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.HKCB\) là:
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) là:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 6z + 7 = 0\). Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?
-
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với trục hoành là
-
Cho điểm \(I\left( {1;0;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}\). Phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho \(\Delta IAB\) đều là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 2;2; – 2} \right); B\left( {3; – 3;3} \right)\). Điểm M trong không gian thỏa mãn \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3}\). Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng
-
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60cm (tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
