Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=x\) và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp \(S.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất thì \(x\) nhận giá trị nào sau đây?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD,\) do \(SB=SC=SD\) nên \(SH\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD,\) suy ra \(SH\bot \left( ABCD \right).\)
Do tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là đường trung trực của đường thẳng \(BD\) do đó \(H\in AC.\)
Đặt \(\alpha =\widehat{ACD},0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \widehat{BCD}=2\alpha ,\) suy ra \({{S}_{ABCD}}=2{{S}_{BCD}}=BC.CD.\sin \widehat{BCD}=\sin 2\alpha .\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\Rightarrow CD\bot SK,\) mà \(CD\bot SH\) suy ra \(CD\bot HK.\)
\(HC=\frac{CK}{\cos \alpha }=\frac{1}{2\cos \alpha },SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4{{\cos }^{2}}\alpha }}=\frac{\sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}}{2\cos \alpha }\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{4\cos \alpha -1}}{2\cos \alpha }.\sin 2\alpha =\frac{1}{3}\sin \alpha \sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}\)
Do đó \(V=\frac{1}{6}\left( 2\sin \alpha \right)\sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}\le \frac{1}{6}\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha +4{{\cos }^{2}}\alpha -1}{2}=\frac{1}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2\sin \alpha =\sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}\alpha =4{{\cos }^{2}}\alpha -1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{5}{8}\)
\(\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{4}.\) Khi đó \(HC=\frac{2}{\sqrt{10}},SH=\frac{\sqrt{15}}{5}.\)
Gọi \(O=AC\cap BD,\) suy ra \(AC=2OC=2CD.\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}.\)
\(AH=AC-HC=\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.\)
Vậy \(x=SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{5}+\frac{9}{10}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tiên Du 1 lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho biết đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}\) có 3 điểm cực trị \(A,B,C\) cùng với điểm \(D\left( 0;-3 \right)\) là 4 đỉnh của một hình thoi. Gọi \(S\) là tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài thì \(S\) thuộc khoảng nào sau đây
-
Cho khối chóp có thể tích là V, khi diện tích của đa giác đáy giảm đi ba lần thì thể tích của khối chóp bằng bao nhiêu.
-
Hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3\) có giá trị cực tiểu là
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{x+4}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
Tính giới hạn \(I=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-2}{x-2}\)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) là:
-
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B, chiều cao bằng h là
-
Hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\) nghịch biến trên khoảng:
-
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có tập nghiệm là: \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
-
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB=\sqrt{3},AD=\sqrt{7}.\) Hai mặt bên \(\left( ABB'A' \right)\) và \(\left( ADD'A' \right)\) lần lượt tạo với đáy góc \({{45}^{0}}\) và \({{60}^{0}},\) biết cạnh bên bằng 1. Tính thể tích khối hộp.
-
Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({{\left( x-\frac{2}{x} \right)}^{n}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) biết \(C_{n}^{1}-2.2.C_{n}^{2}+{{3.2}^{2}}.C_{n}^{3}-{{4.2}^{3}}.C_{n}^{4}+{{5.2}^{4}}C_{n}^{5}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}.n{{.2}^{n-1}}C_{n}^{n}=-2022\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.
.jpg.png)
Hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 3-4x \right)-8{{x}^{2}}+12x+2020\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Trong đoạn \(\left[ -20;20 \right]\), có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y=\left| 10f\left( x-m \right)-\frac{11}{3}{{m}^{2}}+\frac{37}{3}m \right|\) có 3 điểm cực trị?
-
Cho khối lăng trụ có thể tích là V, diện tích đáy là B, chiều cao là h. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới
.jpg.png)
Hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 1-2x \right)+{{x}^{2}}-x\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Số hạng chứa \({{x}^{15}}{{y}^{9}}\) trong khai triển nhị thức \({{\left( xy-{{x}^{2}} \right)}^{12}}\) là:
-
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{2}}.\) Tìm \(m\) để hàm số có đúng một cực trị.
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA=AB=a.\) Góc giữa \(SA\) và \(CD\) là
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sin x+\cot x\)
