Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 3 điểm phân biệt \(A,B,C\). B nằm giữa \(A\) và \(C)\) sao cho \(AB=2BC. \) Tính tổng các phần tử thuộc \(S.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=m\) và đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) là \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\left( * \right).\)
Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)\) lần lượt là 3 nghiệm của (*), theo giả thiết ta giả sử \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)\) khi đó
\(AB=2BC\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=2\left| {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right|\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=4{{x}_{2}}-{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{3}}=4{{x}_{2}}-3\) (theo ĐL Vi-et cho PT(*) có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3).\)
Thay nghiệm \({{x}_{3}}=4{{x}_{2}}-3\) vào (*) ta có phương trình \({{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{3}}-3{{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}=m\)
Lại có \({{x}_{2}}\) cũng là nghiệm của \(\left( * \right)\) nên \(x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}=m\) do đó ta có phương trình
\({{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{3}}-3{{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}=x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}\)
\(\Leftrightarrow 64x_{2}^{3}-144x_{2}^{2}+108x_{2}^{{}}-27-3\left( 16x_{2}^{2}-24{{x}_{2}}+9 \right)=x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}\)
\(\Leftrightarrow 63x_{2}^{3}-189x_{2}^{3}+180{{x}_{2}}-54=0\)
\(\Leftrightarrow 7x_{2}^{3}-21x_{2}^{3}+20{{x}_{2}}-6=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}\\ {x_2} = 1\\ {x_2} = \frac{{7 - \sqrt 7 }}{7} \end{array} \right.\)
Với \({{x}_{2}}=1\) suy ra \({{x}_{3}}=1\) (loại).
Với \({{x}_{2}}=\frac{7\pm \sqrt{7}}{7}\Rightarrow m=-\frac{48\pm 20\sqrt{7}}{49}.\)
Thử lại trực tiếp ta thấy \(m=-\frac{98+20\sqrt{7}}{49}\) và \(m=-\frac{98-20\sqrt{7}}{49}\) là thỏa mãn được yêu cầu bài toán.
Vậy \(S=\left\{ -\frac{98-20\sqrt{7}}{49};-\frac{98+20\sqrt{7}}{49} \right\}\) và tổng các phần tử thuộc tập \(S\) là \(-4.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh bên bằng \(2a,\) góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích của khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC. \)
-
Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m \right|\) có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của \(S.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x-\frac{5}{3}\) trên đoạn \(\left[ 1;3 \right].\)
.png)
-
Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}\) tại điểm \(x=1\) là \(y'\left( 1 \right)=a\ln 2+b,\left( a,b\in \mathbb{Z} \right).\) Tính \(a-b.\)
-
Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,2m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thế tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
-
Trên giá sách có 6 quyển sách toán khác nhau, 7 quyển sách văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng anh khác. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 2 quyển thuộc 2 môn khác nhau?
-
Cho đa giác lồi \({{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{20}}.\) Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a,SO\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(SO=a.\) Khoảng cách giữa \(SC\) và \(AB\) bằng:
-
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y={{\log }_{3}}x.\) Tìm điều kiện của \({{x}_{0}}\) để điểm \(M\) nằm phía trên đường thẳng \(y=2.\)
-
Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58% / tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\) và chiều cao gấp 2 lần đường kính đáy của hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
.jpg.png)
-
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({{\left( \frac{2020}{2021} \right)}^{4x}}={{\left( \frac{2021}{2020} \right)}^{2x-6}}\) là
-
Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1\) với \(n\in \mathbb{N}*\). Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?
-
Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({{u}_{1}}=1,\) công bội \(q=2.\) Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là
-
Một hộp có 8 quả cầu đỏ khác nhau, 9 quả cầu trắng khác nhau, 10 quả cầu đen khác nhau. Số cách lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp là?
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,A'C'.P\) là điểm trên các cạnh \(BB'\) sao cho \(PB=2PB'.\) Thể tích khối tứ diện \(CMNP\) bằng:
-
Thể tích khối cầu có bán kính \(r\) là:
-
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+2}\) đồng biến trên:
