Biết \(I = \int_0^\pi {\frac{{x{{\sin }^{2020}}x}}{{{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x}}} {\rm{d}}x = \frac{{{\pi ^a}}}{b} + c,\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).\) Tính P = a.b.c

A. 4

B. 0

C. \({2^{2020}}\)

D. \({4^{2020}}\)

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng

Bài: Tích phân

Lời giải:

Báo sai

Đặt \(t = \pi – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x\). Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = \pi ,\,\,x = \pi \Rightarrow t = 0\).

\(I = – \int_\pi ^0 {\frac{{\left( {\pi – t} \right){{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t = \int_0^\pi {\frac{{\pi {{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t – I \Rightarrow I = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{{{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t\).

Đặt \(u = \frac{\pi }{2} – t \Rightarrow {\rm{d}}u = – {\rm{d}}t\). Đổi cận \(t = 0 \Rightarrow u = \frac{\pi }{2},\,\,t = \pi \Rightarrow u = – \frac{\pi }{2}\).

\(I = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{{{\sin }^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t = \frac{\pi }{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u\)

Vì \(f\left( u \right) = \frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Nên \(I = \frac{\pi }{2}\int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u\).

Xét \(J = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{si{n^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t\) .

Ta có: \(I + J = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{d}}t} = \frac{{{\pi ^2}}}{2}\) .

Mặt khác: \(I = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2020}}u}}{{{{\sin }^{2020}}u + {{\cos }^{2020}}u}}} {\rm{d}}u = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{si{n^{2020}}t}}{{{{\sin }^{2020}}t + {{\cos }^{2020}}t}}} {\rm{d}}t = J\)( dễ dàng suy ra được thông qua phép đổi biến \(t = \frac{\pi }{2} – u\) ).

\( \Rightarrow I = J = \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

Vậy abc = 0 .