Biết rằng tích phân \(\int_{0}^{4} \frac{(x+1) e^{x}}{\sqrt{2 x+1}} d x=a e^{4}+b\). Tính \(T=a^{2}-b^{2}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(I=\int\limits_{0}^{4} \frac{x+1}{\sqrt{2 x+1}} e^{x} d x=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{4} \frac{2 x+2}{\sqrt{2 x+1}} e^{x} d x=\frac{1}{2}\left(\int\limits_{0}^{4} \sqrt{2 x+1} \cdot e^{x} d x+\int\limits_{0}^{4} \frac{e^{x}}{\sqrt{2 x+1}} d x\right)\)
Xét \(I_{1}=\int\limits_{0}^{4} \frac{e^{x}}{\sqrt{2 x+1}} d x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=e^{x} \\ d v=\frac{d x}{\sqrt{2 x+1}} \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=e^{x} d x \\ v=\int \frac{d x}{\sqrt{2 x+1}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2 x+1} \end{array}\right.\right.\)
Khi đó \(I_{1}=\left.e^{x} \cdot \sqrt{2 x+1}\right|_{0} ^{4}-\int\limits_{0}^{4} e^{x} \cdot \sqrt{2 x+1} d x\)
Suy ra \(I=\frac{3 e^{4}-1}{2}\).
Khi đó \(a=\frac{3}{2}, b=\frac{-1}{2} \Rightarrow T=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2\)
