Cho \(a\) là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \(3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a}\). Tìm phần nguyên của \({{\log }_{2}}\left( 2017a \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\sqrt[6]{a},t>0\), từ giả thiết ta có \(3{{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)>2{{\log }_{2}}{{t}^{3}}\)
\(\Leftrightarrow f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( 1+{{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}{{t}^{2}}>0\)
\({f}'\left( t \right)=\frac{1}{\ln 3}.\frac{3{{t}^{2}}+2t}{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+1}-\frac{2}{\ln 2}.\frac{1}{t}=\frac{\left( 3ln2-2\ln 3 \right){{t}^{3}}+\left( 2\ln 2-2\ln 3 \right){{t}^{2}}-2\ln 3}{\ln 2.\ln 3.\left( {{t}^{4}}+{{t}^{3}}+t \right)}\)
Vì đề xét \(a\) nguyên dương nên ta xét \(t\ge 1\).
Xét\(g\left( t \right)=\left( 3ln2-2\ln 3 \right){{t}^{3}}+\left( 2\ln 2-2\ln 3 \right){{t}^{2}}-2\ln 3\)
Ta có\({g}'\left( t \right)=3\ln \frac{8}{9}{{t}^{2}}+2\ln \frac{4}{9}t=t\left( 3\ln \frac{8}{9}t+2\ln \frac{4}{9} \right)\)
\({g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{2\ln {}^{9}/{}_{4}}{3\ln {}^{8}/{}_{9}}<0\).
Lập bảng biến thiên suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) giảm trên khoảng \(\left[ 1;+\infty \right)\).
Suy ra \(g\left( t \right)\le g\left( 1 \right)=5\ln 2-6\ln 3<0\Rightarrow {f}'\left( t \right)<0\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn giảm trên khoảng \(\left[ 1;+\infty \right)\).
Nên \(t=4\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(f\left( t \right)=0\).
Suy ra \(f\left( t \right)>0\Leftrightarrow f\left( t \right)>f\left( 4 \right)\Leftrightarrow t<4\Leftrightarrow \sqrt[6]{a}<4\Leftrightarrow a<4096\).
Nên số nguyên \(a\) lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là \(a=4095\).
Lúc đó \({{\log }_{2}}\left( 2017a \right)\approx 22,97764311\).
Nên phần nguyên của \({{\log }_{2}}\left( 2017a \right)\) bằng 22.
