Cho các số thực dương a b , thỏa mãn: \(\log ^{2} a+(4 \sin b+2) \log a+4 \sin b+5=0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a+b bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐẳng thức đã cho tương đương với
\(\begin{aligned} &\left(\log ^{2} a+2(2 \operatorname{sinb}+1) \log a+(2 \sin b+1)^{2}\right)+\left(4 \sin b+5-(2 \sin b+1)^{2}\right)=0 \\ &\Leftrightarrow(\log a+2 \sin b+1)^{2}+4\left(1-\sin ^{2} b\right)=0 \\ &\Leftrightarrow(\log a+2 \sin b+1)^{2}+4 \cos ^{2} b=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \log a+2 \sin b+1=0 \\ \cos b=0 \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \operatorname{sinb}=1 \\ \log a+3=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} \sin b=-1 \\ \log a-1=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a=\frac{1}{1000} \\ b=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} a=10 \\ b=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array}\right. \end{array}\right.\)\(\Rightarrow(a+b)_{\min }=\frac{1}{1000}+\frac{\pi}{2}\)
