Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi ta quay hình thứ nhất quay trục XY, ta được 2 hình nón ghép lại với nhau trong đó:
\( h = \frac{{\sqrt {{5^2} + {5^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = r\)
Áp dụng công thức thể tích ta có:
\( {V_1} = 2.\frac{1}{3}\pi r{h^2} = 2.\frac{1}{3}.\pi {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\pi }}{{3\sqrt 2 }}.\)
Khi ta quay hình còn lại theo trục XY thì ta được hình trụ có chiều cao là 5, bán kính \( r = \frac{5}{2}\)
Áp dụng công thức thể tích ta có:
\( {V_2} = S.h = \pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{4}.\)
Phần bị trùng sẽ là tam giác vuông của 2 hình vuông đè vào nhau, là 1 hình nón
\( r = h = \frac{5}{2} \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{{24}}.\)
Như vậy: \( V = 125\pi \left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{{125\pi \left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)}}{{24}}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
-
Cho hình chữ nhật ABCD có AC = 2AD = 2a. Quay quanh trục AB đường gấp khúc ADCB ta được hình trụ có diện tích xung quanh là:
-
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng được theo cách 2. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
-
Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là 1350. Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và điểm M di động. Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất
-
Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn được gọi là:
-
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là a3. Tính thể tích V của khối trụ đã cho?
-
Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tấm tôn có kích thước \(1m\times 20cm\) (biết giá \(1{{m}^{2}}\) tôn là 90000 đồng) bằng 2 cách:
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ như hình 1.
Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như hình 2.
Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là \(9955dong/{{m}^{3}}\). Chi phí trong tay thầy hiệu trưởng là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách làm nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán).
.PNG)
-
Một chiếc hộp hình lập phương cạnh a bị khoét một khoảng trống có dạng là một khối lăng trụ với hai đáy là hai đường tròn nội tiếp của hai mặt đối diện của hình hộp. Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt của chiếc hộp lại như cũ, chỉ chừa lại khoảng trống bên trong. Tính thể tích của khoảng trống tạo bởi khối trụ này.
-
Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt6\). Tính thể tích V của khối nón đó?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng (a. ) Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
-
Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng:
-
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =3, AD = 4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy là \(45^0\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
-
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần StpStpcủa hình trụ đó.
-
Tính theo $a$ thể tích của một khối trụ có bán kính là a và chiều cao là 2a.
-
Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón là
-
Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích toàn phần hình nón là
-
Cho các hình sau đây: điểm, đường thẳng, đường tròn. Số hình khi quay quanh một trục cố định ta được mặt tròn xoay là:
