Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi ta quay hình thứ nhất quay trục XY, ta được 2 hình nón ghép lại với nhau trong đó:
\( h = \frac{{\sqrt {{5^2} + {5^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = r\)
Áp dụng công thức thể tích ta có:
\( {V_1} = 2.\frac{1}{3}\pi r{h^2} = 2.\frac{1}{3}.\pi {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\pi }}{{3\sqrt 2 }}.\)
Khi ta quay hình còn lại theo trục XY thì ta được hình trụ có chiều cao là 5, bán kính \( r = \frac{5}{2}\)
Áp dụng công thức thể tích ta có:
\( {V_2} = S.h = \pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{4}.\)
Phần bị trùng sẽ là tam giác vuông của 2 hình vuông đè vào nhau, là 1 hình nón
\( r = h = \frac{5}{2} \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{{24}}.\)
Như vậy: \( V = 125\pi \left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{{125\pi \left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)}}{{24}}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình trụ có đường cao h và bán kính đáy là r. Trong các khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ thì khối lăng trụ có thể tích lớn nhất bằng:
-
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D có đáy ABCD là hình thang, AB = AD = a, CD = 2a. Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60o. Biết hình lăng trụ nội tiếp một hình trụ. Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ theo a ta được:
-
Một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao của nó. Nếu thể tích của khối trụ bằng \(2\pi\) thì chiều cao của hình trụ là
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a Diện tích xung quanh Sxq của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A'B'C'D' và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là:
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng a và đường kính đáy bằng 2a. Tính thể tích V của hình trụ.
-
Một chiếc hộp hình trụ với bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 10 cm. Một học sinh bỏ một miếng bìa hình vuông vào chiếc hộp đó và thấy hai cạnh đối diện của miếng bìa lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy hộp và miếng bìa không song song với trục của hộp. Hỏi diện tích của miếng bìa đó bằng bao nhiêu?
-
Xét hình trụ (T ) có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần (S ) của hình trụ.
-
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D' ) có cạnh bằng (a. ) Diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông (ABCD ) và (A'B'C'D' ) là:
-
Khối nón có bán kính đáy bằng 2, chiều cao bằng \(2\sqrt 3 \) thì có đường sinh bằng:
-
Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy \(4\pi a\) , chiều cao a. Thể tích khối trụ này bằng
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
-
Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5\,(cm)\), chiều cao \(r = 7\,(cm)\). Diện tích xung quanh của hình trụ này là:
-
Khối nón có bán kính đáy bằng 2, chiều cao bằng \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGOmamaaka % aabaGaaG4maaWcbeaaaaa!3788! 2\sqrt 3 \) thì có đường sinh bằng:
-
Trục đường tròn là đường thẳng đi qua tâm và:
-
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng tạo với trục một góc 45 0 thì ta được:
-
Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn được gọi là:
-
Khối trụ tròn xoay có thể tích bằng \(144\pi \) và có bán kính đáy bằng 6. Đường sinh của khối trụ bằng
-
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên và đáy bằng , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình chóp là:
-
Cho hình trụ có bán kính đáy 10cm và đường cao là 15cm. ta để một thước thẳng có chiều dài l vào trong hình trụ. Khi đó trong các kết quả sau l có thể nhận giá trị lớn nhất là:
-
Một hình nón có chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \) và bán kính đáy bằng a. Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón.
