Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, liên tục trên \(\left[ { – 4;4} \right]\). Biết rằng \(\int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính tích phân \(I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nên : \(2 = \int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = – \int_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
Đặt \(t = 2x \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x\).
Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = 2,\,\,x = 2 \Rightarrow t = 4\)
\( \Rightarrow \int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = – \int_1^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\int_2^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 4 \Rightarrow \int_2^4 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = – 8\).
\( \Rightarrow \int_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 8\).
Vậy \(I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int_2^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2 – 8 = – 6\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C), xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f(x)>0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f^{\prime}(x)=(x \cdot f(x))^{2}, \forall x \in \mathbb{R} \quad \text { và } \quad f(0)=2\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của đồ thị (C) là.
-
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{x}{4}, y=0, x=1, x=4\) quay quanh trục Ox bằng
-
Tập hợp giá trị của m sao cho \(\mathop \smallint \nolimits_0^m \left( {2x - 4} \right)dx = 5\) là
-
Hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)=\sqrt{x+2}+x f\left(3-x^{2}\right)\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)?
-
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x=1 là:
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f(0) = 3 và \(f(x) + f(2 – x) = {x^2} – 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} \) bằng
-
Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng\(x=a, x=b(a<b)\) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
-
Cho hàm số f(x), biết \(f’\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\ln x}}{x}{\rm{ khi }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}0\\4{\left( {x + 2} \right)^3}{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.\) và thoả mãn f(1) = 0, f( – 1) = 1. Tính f(e) + f(0).
-
Tính tích phân \(I\; = \;\mathop \smallint \nolimits_1^5 \frac{1}{{x\sqrt {3x\; + \;1} }}dx\) được kết quả I = aln3 + bln5 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a2 + ab + 3b2 là
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(1)=\frac{1}{3} \text { và } f^{\prime}(x)=[x f(x)]^{2} \text { với mọi } x \in \mathbb{R}\). Giá trị f (2) bằng ?
-
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0, y=\sqrt{x}, y=x-2\)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \({y^2} - 2y + x = 0,\;x + y = 0\) là
-
Tính tích phân sau \(J = \mathop \smallint \nolimits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}\)
-
Cho tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaeyOeI0IaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaaikdacaWG4bGaamizaiaadIhaaS % qaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaisdaaaaaniabgUIi % Ydaaaa!481B! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} \). Tìm đẳng thức đúng
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn \(f(x)=\frac{f(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x}\) . Tính tích phân \(I=\int_{3}^{4} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Tìm giá trị của \(\text {a để } \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a\)
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn \(f(4-x)=f(x), \forall x \in[1 ; 3]\)và \(\int_{1}^{3} x f(x) \mathrm{d} x=-2\) . Giá trị \(\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\sin x}\) có giá trị bằng
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K. Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Biết rằng \(\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 3,\,\,\,\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\). Tính \(\int_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} ?\)
