Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}; f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\) và \(f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)\).
\(I = f\left( { – 3} \right) – f\left( { – 4} \right) = \int\limits_{ – 4}^{ – 3} {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_{ – 4}^{ – 3} = \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5}\).
\(J = f\left( 0 \right) – f\left( { – 1} \right) = \int\limits_{ – 1}^0 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_{ – 1}^0 = – \frac{2}{3}\ln 2\)
\(K = f\left( 4 \right) – f\left( 3 \right) = \int\limits_3^4 {f’\left( x \right)} {\rm{d}}x = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_3^4 = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4}\)
\( – I – J – K = f\left( { – 4} \right) – f\left( { – 3} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) – f\left( 4 \right)\)
\( = \left[ {f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)} \right] – f\left( 0 \right) – \left[ {f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right)} \right]\)
\(f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right) = – I – J – K + f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right)} \right]\)
\(T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right) = – \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5} + \frac{2}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – 2} \right]{\rm{d}}x} \).
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:
-
Tính thể tích của phần vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ
thị \((P): y=2 x-x^{2}\) -
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right]\) với mọi x dương. Biết \(f(1)=f^{\prime}(1)=1\) . Giá trị \(f^{2}(2)\) bằng
-
\(\text { Cho tích phân } I=\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{3 \ln x+1}{x} \mathrm{~d} x . \text { Nếu đặt } t=\ln x \text { thì }\)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(x+f^{3}(x)+2 f(x)=1, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I=\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a\). Tìm \(a\)
-
Biết\(\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2)(x+4)}=a \ln 2+b \ln 5+c \ln 7,(a, b, c \in \mathbb{Q})\). Giá trị của biểu thức bằng 2a+3b-c
-
Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 6 x^{2} & \text { khi } & x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } & x \geq 0 \end{array} \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\right.\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên \(I+22 \geq 0 ?\)
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} d x\) có giá trị bằng
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H): \(y=\frac{x-1}{x+1}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{2}{{2x – 1}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng
-
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x\) bằng.
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x} \ln x\), trục hoành và đường thẳng x = e bằng
-
Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)\) là:
-
Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x, y=\frac{1-x}{x}, y=0\) (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).
