Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow 2tdt=2xdx\Rightarrow xdx=tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( -2x+12 \right)dx}=9\).
Đặt \(t=1+{{e}^{2x}}\Rightarrow dt=2{{e}^{2x}}dx\Rightarrow {{e}^{2x}}dx=\frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow t = 5\\ x = \ln 3 \Rightarrow t = 10 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{5}^{10}{f\left( t \right)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{5}^{10}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{5}^{10}{4x}=75\).
Vậy \(I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=84\)
Câu hỏi liên quan
-
Biết rằng tích phân \(\int_{0}^{1}(2 x+1) e^{x} d x=a+b \cdot e\). Tích a.b bằng:
-
Tính tích phân sau \(G = \mathop \smallint \nolimits_0^{\ln 2} {({e^x} - 1)^2}.{e^x}dx\)
-
Để tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamytaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaaabaGaaGimaaqaaiaaig % daa0Gaey4kIipaaaa!41A8! M = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){2^x}} \) bằng phương pháp tích phân từng phần ta đặt u = x + 1 và \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeizaabaaa % aaaaaapeGaamODaiabg2da9iaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaGc % caWGKbGaamiEaaaa!3CD2! {\rm{d}}v = {2^x}dx\). Tìm du và tính M
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x2 + x − 1 và y = x4 + x − 1 là:
-
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành, quanh trục hoành.
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x\) , trục hoành, trục tung, đường thẳng x =1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=\cos x\) , trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x =\pi\) bằng
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(2)=-\frac{2}{9}\)và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của f(1) bằng
-
Biết \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 \frac{{dx}}{{4{x^2} - 4x + 1}} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\) thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây?
-
Cho hàm số f(t) liên tục trên \(K\text{ và }a, b \in K, F(t)\) là một nguyên hàm của trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(f(2)=3, \int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4 \text { và } \int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} . \text { Tích phân } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Tính \(I=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2 x+1}+3 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x\)
-
Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (ex + 1)x
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-x-2}\) có giá trị bằng
-
Cho hình (H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A(2;4) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình (H ) quay quanh trục Ox bằng:
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{\pi }} {x^2}\sin x\;dx\) bằng :
-
Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn:\(g(x)=1+2018 \int^{x} f(t) \mathrm{dt}, g(x)=f^{2}(x)\). Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)
-
Cho tích phân:\(I=\int\limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{1-\ln x}}{2 x} d x\) .Đặt \(u=\sqrt{1-\ln x}\) .Khi đó I bằng
-
Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\sqrt 3 } \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\)
