Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = {e^2} \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\)
Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow 2tdt=2xdx\Rightarrow xdx=tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\\ x = 2\sqrt 6 \Rightarrow t = 5 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{2}^{5}{t.f\left( t \right)dt}=\int\limits_{2}^{5}{x.f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{1}{2}x+2 \right)dx+}\int\limits_{2}^{5}{x.\left( -x+7 \right)dx=}\frac{79}{2}\Rightarrow a=79,\ b=2\).
Vậy \(a-b=77\)
