Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\) và \(\int\limits_0^1 {{x^{2018}}f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {{x^{2019}}f’\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

\(\begin{equation} \text { Biết } \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{3} \text { và } \end{equation}\) \(\begin{equation} \int_{0}^{1} g(x) d x=\frac{4}{3} . \text { Khi đó } \int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \text { bằng } \end{equation}\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = xsin2x, y = 2x, \(x\; = \;\frac{{\rm{\pi }}}{2}\)

Giả sử hàm số y =f(x)liên tục, nhận giá trị dương trên \((0 ;+\infty)\)và thỏa mãn \(f(x)=f^{\prime}(x) \sqrt{3 x+1}\) , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)

Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hai số thực a<b . Nếu \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\alpha\) thì tích phân \(\int\limits_{a / 2}^{b / 2} f(2 x) d x\) có giá trị bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}+2, x=1, x=2, y=0\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a+b\) bằng

Số lượng một loại vi khuẩn gây bệnh có trong cơ thể của một người sau thời gian t (ngày) là f(t), trong đó \(f'\left( t \right) = \frac{{10000}}{{3t + 1}}.\) Một người mắc bệnh do vi khuẩn gây ra. Khi đi khám lần thứ nhất, trong cơ thể của người này có 1000 con vi khuẩn nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh. Biết rằng nếu trong cơ thể người đó có trên 12000 con vi khuẩn thì người này sẽ ở tình trạng nguy hiểm. Hỏi sau 10 ngày người đó đi khám lại thì trong cơ thể của họ có đang trong tình trạng nguy hiểm không, nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn là bao nhiêu con?

Biết \(\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+1}+(x+1) \sqrt{x}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c} \text { với } a, b, c\) là các số nguyên dương. Giá trị của \(P=a+b+c\) là:

Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho \(\int_{1}^{5} f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{5} g(x) d x=-4\). Giá trị \(\int_{1}^{5}[g(x)-f(x)] d x\)  là
 

Tính S  hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y\; = \;\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}\); y = 0; x = 1

Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) . Nếu\(\begin{aligned} &\int_{1}^{5} 2 f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{3} f(x) d x=7 \text { thì } \int_{3}^{5} f(x) d x \end{aligned}\) có giá trị
bằng:
 

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{3^x} + x - 4} \right|dx\) ta được kết quả \(I = a + \frac{b}{{\ln c}}\) (với a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = {a^3} + 3{b^2} + 2c\) bằng:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 12 và \(\mathop \smallint \nolimits_1^4 f'\left( x \right)dx\; = \;17\) . Giá trị của f(4) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x} \ln x\), trục hoành và đường thẳng x = e bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^{3}-4 x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=-3, x=4\) là

Tích phân \(K = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \left( {2x - 1} \right)\ln \;xdx\) bằng:

Cho hình (H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A(2;4) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình (H ) quay quanh trục Ox bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn\(f(1+2 x)+f(1-2 x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{3} f(x) d x\)