Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 2a,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^o}.\) Và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi K là trung điểm của BC.
Do \(\widehat {SCB} = \widehat {SAB} = {90^o}\) nên dễ dàng nhận thấy trung điểm II của SBSB là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.
Gọi MM là trung điểm của AC. Tam giác ABCABC vuông tại B, ta có MA=MB=MC, mặt khác IA=IB=IC, do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay IM⊥(ABC).
Ta có \(d\left( {M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\)
Trong tam giác IMKIMK, kẻ MH ⊥ IK (1)
\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot IM\\ BC \bot MK \end{array} \right.\)⇒ BC ⊥ (IMK) ⇒ BC ⊥ MH(2).
Từ (1),(2) suy ra MH ⊥ (SBC).
Xét tam giác vuông IMK ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{M{K^2}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{M{I^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow MI = a.} \end{array}\)
Xét tam giác vuông IMA ta có \(IA = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 .2a}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 a.\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = 12\pi {a^2}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Một chiếc hộp hình trụ với bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 10 cm. Một học sinh bỏ một miếng bìa hình vuông vào chiếc hộp đó và thấy hai cạnh đối diện của miếng bìa lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy hộp và miếng bìa không song song với trục của hộp. Hỏi diện tích của miếng bìa đó bằng bao nhiêu?
-
Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 14cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trái thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng30cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390cm. Tỉnh lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị (m3), làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phầy). Ta có kết quả:
-
Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là:
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích xung quanh là πa2. Bán kính đáy của hình trụ là:
-
Quay hình vuông (ABCD ) quanh trục (AC ) ta được:
-
Mặt tròn xoay không thể có được nếu quay hình nào quanh một đường thẳng
-
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \( \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng:
-
Cho khối nón có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r = 3cm,l = 5cm. Tính thể tích khối nón.
-
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 3a. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
-
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 và góc ACD bằng \(60^0\). Thể tích của khối trụ là:
-
Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là :
-
Một hình trụ có bán kính đáy r =5 cm, chiều cao h=7cm . Diện tích xung quanh của hình trụ này là
-
Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy (r ) và chiều cao (h ) là:
-
Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần \(S_{tp}\) của hình trụ (T) là
-
Tính diện tích toàn phần của hình trụ có đường cao bằng 2 và đường kính đáy bằng 8.
-
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B và số thực dương k. Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB bằng k là:
-
Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao \(a\sqrt 3 \)
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
-
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=5,AC=8\) và góc \(\widehat{\left( AB,AC \right)}={{60}^{0}}.\) Gọi \(V,V'\) lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số \(\frac{V'}{V}?\)
-
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu (S) là
