Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , \(A B=1, B C=\sqrt{3}, \Delta S A C\) đều, mặt phẳng (SAC) vuông với đáy. Gọi \(\alpha 1\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) . Giá trị của \(\cos \alpha \) bằng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB, BC .
\(\begin{array}{l} (S A C) \perp(A B C) \Rightarrow S H \perp(A B C) \Rightarrow S H \perp H M, S H \perp H N . \\ \Delta A B C \text { vuông tại } B \Rightarrow H M \perp H N \\ \Delta A B C \text { vuông tại } B \Rightarrow A C=2 \Rightarrow S H=\sqrt{3} \\ H M=\frac{1}{2} B C=\frac{\sqrt{3}}{2} ; H N=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \end{array}\)
Chọn hệ trục tọa độ như sau: \(H(0 ; 0 ; 0) ; \quad S(0 ; 0 ; \sqrt{3}) ; M\left(0 ; \frac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right) ; \quad N\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 0\right);B\left(\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right)\) khi đó
\(\begin{array}{l} \overrightarrow{B M}=\left(-\frac{1}{2} ; 0 ; 0\right) \quad \overrightarrow{B N}=\left(0 ;-\frac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right) \\ \overrightarrow{B S}=\left(-\frac{1}{2} ;-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \sqrt{3}\right) \overrightarrow{B S}=\left(-\frac{1}{2} ;-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \sqrt{3}\right) \\ \overrightarrow{n_{1}}=[\overrightarrow{B M}, \overrightarrow{B S}]=\left(0 ; \frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{4}\right) ; \overrightarrow{n_{2}}=[\overrightarrow{B N}, \overrightarrow{B S}]=\left(-\frac{3}{2} ; 0 ;-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \\ \cos \alpha=\left|\cos \left(\vec{n}_{1} ; \vec{n}_{2}\right)\right|=\frac{\left|-\frac{3}{16}\right|}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{16}}}=\frac{\sqrt{65}}{65} \end{array}\)
