Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính \(cosin\) góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng 1.
Gọi \(N = AM \cap CD\) và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\), khi đó
\(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{AN}}\).
Kẻ \(AH \bot A’D,\,\,H \in A’D\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AA’\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {A’AD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot A’D\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’AD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’AD} \right)} \right) = AH\).
Trong tam giác vuông A’AD ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 \Rightarrow AH = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có \(\frac{{MN}}{{AN}} = \frac{{MC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AN = 2MN = 2AM = 2\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = 2\sqrt {{1^2} + \frac{1}{4}} = \sqrt 5 \).
Khi đó, \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’CD} \right)} \right)}}{{AN}} = \frac{{AH}}{{AN}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng CM và \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có \(AB = \sqrt 3 \) và AA’ = 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC’ và \(\left( {ABC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C, S B=S D\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn \(S A=S B=S C\) . Tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
-
Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{2}\) . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (A B C).
-
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc. Đường vuông góc chung của AB và CD là:
-
Cho hình chóp S ABC . có cạnh \(S A \perp(A B C)\) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SOD là:
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng 2a, cạnh bên bằng a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và N là trung điểm của BC.Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:
-
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB = 2a.
Tan của góc giữa AC với mặt phẳng (ABD) bằng:
-
Cho hình chóp \(S . A B D C\) , với đáy ABDC là hình bình hành tâm O,\(A D, S A, A B\) đôi một vuông góc \(A D=8, S A=6\). ( P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB . Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SBC là:
-
Cho góc tam diện Sxyz với\(\widehat{x S y}=120^{\circ}, \widehat{y S z}=60^{\circ}, \widehat{z S x}=90^{\circ}\) . 0 Trên các tia \(S x, S y, S z\) lần lượt
lấy các điểm A, B, C sao cho \(S A=S B=S C=a\) . Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc
điểm sau : -
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC=a . Hình chiếu vuông góc của S lên (A B C) trùng với trung điểm BC . Biết SB=a . Tính số đo của góc giữa SA và (A B C)?
-
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. AA’ vuông góc với mặt phẳng.
