Cho số phức z thỏa mãn \(|z-3-4 i|=\sqrt{5}\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=|z+2|^{2}-|z-i|^{2}\) . Môđun của số phức \(w=M+m i\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } z=x+y i \text { với } x, y \in \mathbb{R} \text { . }\\ &\text { Có }|z-3-4 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5\\ &\text { Ta lại có: } P=|z+2|^{2}-|z-i|^{2}\\ &=(x+2)^{2}+y^{2}-\left[x^{2}+(y-1)^{2}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} =4 x+2 y+3=4(x-3)+2(y-4)+23 \\ \text { Ta có: }|4(x-3)+2(y-4)| \quad \leq \quad \sqrt{\left(4^{2}+2^{2}\right)\left[(x-3)^{2}+(y-4)^{2}\right]}=\sqrt{\left(4^{2}+2^{2}\right) \cdot 5}=10 \\ \Leftrightarrow-10 \leq 4(x-3)+2(y-4) \leq 10 \\ \Leftrightarrow 13 \leq P \leq 33 \Rightarrow m=\min P=13, M=\max P=33 \\ \Rightarrow W=33+13 i \Rightarrow|W|=\sqrt{33^{2}+13^{2}}=\sqrt{1258} \end{array}\)
P đạt max khi \(\left\{\begin{array}{l} \frac{x-3}{4}=\frac{y-4}{2} \\ 4 x+2 y+3=33 \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x-6=4 y-16 \\ 4 x+2 y=30 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x-4 y=-10 \\ 4 x+2 y=30 \end{array}\right.\right. \\ \Leftrightarrow x=y=5 \end{array}\)
P đạt min khi \(\left\{\begin{array}{l} \frac{x-3}{4}=\frac{y-4}{2} \\ 4 x+2 y+3=13 \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x-6=4 y-16 \\ 4 x+2 y=10 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x-4 y=-10 \\ 4 x+2 y=10 \end{array}\right.\right. \\ \Leftrightarrow x=1, y=3 \end{array}\)
