Cho số phức (z ) thỏa mãn| z2 - 2z + 5| = | (z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =| w | với w = z - 2 + 2i
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} \left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + 4} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow |(z - 1 + 2i)(z - 1 - 2i)| = |(z - 1 + 2i)||(z + 3i - 1)| \to \left[ \begin{array}{l} z - 1 + 2i = 0(1)\\ |(z - 1 + 2i)| = |(z + 3i - 1)|(2) \end{array} \right. \end{array}\)
Từ \( \left( 1 \right) \Rightarrow z = 1 - 2i \Rightarrow w = - 1 \Rightarrow P = \left| w \right| = 1.\)
Xét (2). Gọi z=x+yi(x;y∈R).
Ta có:
\( \left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2}.\)
Khi đó
\( w = x - \frac{1}{2}i - 2 + 2i = \left( {x - 2} \right) + \frac{3}{2}i \Rightarrow P = \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \ge \frac{3}{2} > 1\)
Vậy Pmin=1.
