Cho tam giác ABC biết \(A B=3, B C=4, A C=6\) , I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .Gọi x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x \cdot \overline{I A}+y \cdot \overrightarrow{I B}+z \cdot \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \text { . Tính } P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Dựng hình bình hành } B D I E \text { như hình vẽ. Khi đó } \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{I E}+\overrightarrow{I D}=-\frac{I E}{I A} \overrightarrow{I A}-\frac{I D}{I C} \overrightarrow{I C}\)
\(\begin{aligned} &\text { Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: } \frac{I E}{I A}=\frac{M B}{M A}=\frac{B C}{A C}, \frac{I D}{I C}=\frac{B N}{N C}=\frac{A B}{A C}\\ &\text { Suy ra } \overrightarrow{I B}=-\frac{B C}{A C} \overrightarrow{I A}-\frac{A B}{A C} \overrightarrow{I C} \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Từ } x \cdot \overrightarrow{I A}+y \cdot \overrightarrow{I B}+z \cdot \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \text { suy ra } \overrightarrow{I B}=-\frac{x}{y} \cdot \overrightarrow{I A}-\frac{z}{y} \cdot \overrightarrow{I C} \text { . }\\ &\text { Do } \overrightarrow{I A}, \overrightarrow{I C} \text { là hai véc tơ không cùng phương suy ra } x=4 t, y=6 t, z=3 t \text { với } t>0 \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Vậy } P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{41}{12} \text { . }\)