Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường trung tuyến AM (H,M∈BC) . Biết chu vi của tam giác là 72cm và AM – AH = 7 (cm). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt AH = a (a > 0 ) khi đó ta có: AM = a + 7 (cm).
Lại có tam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến AM nên BC = 2AM
⇒ BC = 2(a+7)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
\(AB.AC = AH.BC = 2a.\left( {a + 7} \right) = 2{a^2} + 14a.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Chu vi của tam giác bằng 72 nên ta có:
\(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2\left( {a + 7} \right)\)
Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABC ta có:
\(\begin{array}{l} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow 2AB.AC = {{\left( {AB + AC} \right)}^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}\\ {\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = {{\left[ {72 - 2\left( {a + 7} \right)} \right]}^2} - 4{{\left( {a + 7} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 2AB.AC = 4{{\left( {29 - a} \right)}^2} - 4{{\left( {a + 7} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow AB.AC = 2\left( {841 - 58a + {a^2}} \right) - 2\left( {{a^2} + 14a + 49} \right)}\\ { \Leftrightarrow AB.AC = 1584 - 144a{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)} \end{array} \end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có phương trình
\(2{a^2} + 14a = 1584 - 144a \Leftrightarrow {a^2} + 79a - 792 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 9(tm)\\ a = - 88(ktm) \end{array} \right.\)
Vậy AH = 9 (cm); BC = 2(9 + 7) = 32 (cm). Khi đó diện tích của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.9.32 = 144\left( {c{m^2}} \right).\)
Câu hỏi liên quan
-
Nhằm tiếp tục đẩy mạnh phong trào xây dựng trường học Xanh – Sạch – Đẹp, trường THCS A đã thiết kế một khuôn viên để trồng hoa có dạng hình tam giác vuông (như hình bên, biết rằng ΔMNK vuông tại M, . Nhà trường trồng hoa mười giờ dọc các đoạn NK, MH. Tính độ dài các đoạn NK, MH. Biết rằng chi phí trồng hoa mười giờ là 20000 đồng trên mỗi mét chiều dài. Tính tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó.
-
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15cm, AB = 12cm. Tính AC;góc B
-
Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m , người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nắng lần lượt là 340 và 380
-
Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 8cm, AC = 15cm. Giải tam giác ABC.
-
Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng?
-
Cho tam giác nhọn (ABC ) hai đường cao (AD ) và (BE ) cắt nhau tại (H ). Biết HD:HA = 1:2 Tính tan B.tan C
-
Cho tam giác MNP vuông tại (M ) có đường cao (MH. ) Gọi (I, K ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (H ) trên (MN, MP. ) Biết (HK = 9cm, HI = 6cm. ) Khi đó tính độ dài các cạnh của (tam giác MNP. )
-
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26cm, AB = 10cm. Tính AC;góc B (làm tròn đến độ)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∈ BC).Biết AB = 3a, \(AH = \frac{{12}}{5}a.\) Tính theo a độ dài AC và BC.
-
Cho tam giác (ABC ) vuông tại (A ), AB = 15cm;AC = 20cm. Phân giác của góc (A ) cắt (BC ) tại (E ).
Giải tam giác ABC
-
Một hình chữ nhật cắt đường tròn biết AB = 4, BC = 5, DE = 3 (với cùng đơn vị đo). Độ dài EF bằng:
.png)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\:\widehat {ACB} = {30^0},\:\:AB = 5cm.\) Độ dài cạnh AC là:
-
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H∈BC), trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA, vẽ CE vuông góc AD (E∈AD). Kết luận đúng là:
-
Cho tam giác ABC vuông tại A; BC = a không đổi, \(\widehat C = \alpha ({0^0} < \alpha < {90^0})\) . Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và alpha
-
Cho \(\widehat {xOy} = {45^0}.\) Trên tia Oy lấy hai điểm A, B sao cho \(AB = \sqrt 2 \left( {cm} \right).\) Tính độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên Ox.
-
Cho tam giác ABC ) vuông tại (A ) có đường cao (AH )và đường trung tuyến (AM ). Biết (AH = 3cm; HB = 4cm. ) Hãy tính (AB,AC,AM ) và diện tích tam giác (ABC. )
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D; góc C = 500. Biết AB = 2; AD = 1,2. Tính diện tích hình thang ABCD.
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A (AB = AC = a) . Phân giác của góc B cắt AC tại D. Tính DA;DC theo a
-
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc vủa M lên AB và AC. Kết luận nào sau đây đúng?
