Cho tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như Hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để \(OC{\rm{ }} = \frac{5}{4}OB\)
.png)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có OB = x (cm)
Khi đó AB = BC = x – 1 (cm). Do đó x > 1
Xét tam giác OBC vuông tại B, có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {O{C^2}\; = O{B^2}\; + B{C^2}(Pi - ta - go)\;}\\ { \Leftrightarrow O{C^2}\; = {x^2}\; + {{\left( {x - 1} \right)}^2}\; = 2{x^2}\; - 2x + 1} \end{array}}\\ { \Leftrightarrow OC = \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} } \end{array}\)
Xét tam giác OAB vuông tại A, có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {O{B^2}\; = A{B^2}\; + O{A^2}\;\left( {Py - ta - go} \right)}\\ { \Leftrightarrow O{A^2}\; = A{B^2}\; - O{B^2}} \end{array}}\\ { \Leftrightarrow O{A^2}\; = {x^2}\; - {{\left( {x - 1} \right)}^2}\; = {x^2}\; - ({x^2}\; - 2x + 1) = 2x - 1}\\ { \Leftrightarrow OA = \sqrt {2x - 1} } \end{array}\)
Vì \(OC{\rm{ }} = \frac{5}{4}\) nên \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} = \frac{5}{4}x\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow 2{x^2}\; - 2x + 1 = \frac{{25}}{{16}}{x^2}}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow 16\left( {2{x^2}\; - 2x + 1} \right) = 25{x^2}}\\ { \Rightarrow 7{x^2}\; - 32x + 16 = 0} \end{array}}\\ { \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 4\;}\\ {x = \frac{4}{7}} \end{array}} \right.} \end{array}\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên \(x = \frac{4}{7}\) (không thỏa mãn x > 1)
Vậy với x = 4 (cm) thì \(OC{\rm{ }} = \frac{5}{4}OB\)
