Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 \) và \({z^2}\) là số thuần ảo?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\)
Theo giả thiết:
\(\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi – 6} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a – 6} \right)^2} + {b^2} = 20 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 12a + 16 = 0\) (1).
Mặt khác \({z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi\) là số thuần ảo nên \({a^2} – {b^2} = 0\) hay \({a^2} = {b^2}\).
Thay \({b^2} = {a^2}\) vào (1), ta được: \( \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} – 12a + 16 = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} – 12a + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 2\end{array} \right.\)
Với a = 4, ta có: \( \Rightarrow b = \pm 4\)
Với a = 2, ta có: \( \Rightarrow b = \pm 2\).
Vậy có 4 số phức z thỏa đề: \(z = 4 + 4i,z = 4 – 4i,z = 2 + 2i,z = 2 – 2i\).
Câu hỏi liên quan
-
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-4 z+5=0\) . Giá trị của biểu thức \(\left|z_{1}^{2}\right|+\left|z_{2}^{2}\right|\) bằng.
-
Tìm nghiệm phức của phương trình: \(x^{2}+2 x+2=0\)
-
Gọi \(z_{1}, z_{2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2 z^{2}+\sqrt{3} z+3=0\). Giá trị của biểu thức \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
-
Số phức z=(1+i)2 bằng
-
Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình \(z^{2}-4 z+5=0\) . Giá trị của biểu thức \(P=\left(z_{1}-2 z_{2}\right) \cdot \overline{z_{2}}-4 z_{1}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: \(\left( {2 – i} \right)\left( {1 + i} \right) + \overline z = 4 – 2i\).Tính môđun của z?
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tìm số phức z thỏa mãn \((2-i)(1+i)+\bar{z}=4-2 i\).
-
Phương trình \(z^{2}+2 z+3=0\) có hai nghiệm phức \(z_1, z_2\) . Tính giá trị của biểu thức\(P=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\)
-
Hỏi điểm \(M\left( {3; – 1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức nào sau đây?
-
Tìm số phức z thỏa mãn \(z-(2+3 i) \bar{z}=1-9 i\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 2} \right| + \left| {z – 2} \right| = 8\). Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
-
Có bao nhiêu số phức z có phần thực khác 0, thỏa mãn \(\left| {z – \left( {3 + i} \right)} \right| = 5\) và \(z.\overline z = 25\)?
-
Xét các số phức z thỏa mãn \(|z-2-3 i|=1\). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(|\bar{z}+1+i|\)lần lượt là
-
Cho số phức z thỏa mãn \(|z|=5 \quad \text { và } \quad|z+3|=|z+3-10 i|\) . Tìm số phức \(w=z-4+3 i\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3 i|=\sqrt{13} \text { và } \frac{z}{z+2}\)là số thuần ảo
-
Cho hai số phức z1 = 3i - 4; z2 = 3 - i. Tìm số phức z = z1 – z2.
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 – i} \right| – \left| {z – 2 – 3i} \right| = 2\sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).
-
Cho số phức z = 2 - 3i. Mô-đun của số phức \(w = 2z + (1 + i) \bar z\) bằng:
-
Cho số phức z thỏa điều kiện \(\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\bar z + i} \right|\) bằng
