Giả sử \(z_1;z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(|(2+i)|=|z-(1-2 i) z|=|1+3 i| \text { và }\left|z_{1}-z_{2}\right|=1\). Tính \(M=\left|2 z_{1}+3 z_{2}\right|\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta có \(|(2|z|-1)+(|z|+2) \mathrm{i}| \cdot|z|=\sqrt{10} \Leftrightarrow\left[(2|z|-1)^{2}+(|z|+2)^{2}\right] \cdot|z|^{2}=10\)
\(\Leftrightarrow 5|z|^{4}+5|z|^{2}-10=0 \Leftrightarrow|z|=1(\text { vì }|z| \geq 0)\)
Gọi \(z_{1}=x_{1}+y_{1} \text { i và } z_{2}=x_{2}+y_{2} \text { i. } \text { Ta có }\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1 \text { nên } x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1\)
Mặt khác \(\left|z_{1}-z_{2}\right|=1 \text { nên }\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=1 . \text { Suy ra } x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=\frac{1}{2}\)
Khi đó \(M=\left|2 z_{1}+3 z_{2}\right|=\sqrt{\left(2 x_{1}+3 x_{2}\right)^{2}+\left(2 y_{1}+3 y_{2}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{4\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+9\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)+12\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}\right)}\)
Vậy \(M=\sqrt{19}\)
Câu hỏi liên quan
-
Điểm biểu diễn của các số phức \(z=m+m i \text { với } m \in \mathbb{R}\), nằm trên đường thẳng có phương trình là
-
Cho số phức \(\bar z = 3 - 2i\). Tìm phần thực và phần ảo của z.
-
Điểm biểu diễn số phức \(z=\frac{(2-3 i)(4-i)}{3+2 i}\) có tọa độ là
-
Tìm số phức z thỏa mãn: \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\bar{z}=\frac{(1-\sqrt{3} i)^{3}}{1-i}\). Môđun của số phức \(\bar{z}+i z\) bằng
-
Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức \(z = \frac{{\left( {2 - 3i} \right)\left( {4 - i} \right)}}{{3 + 2i}}\)
-
Cho số phức \(z=2-3 i \) . Tính môđun của số phức \(w=z-1\)
-
Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức \(z=(1-2 i)^{2}\)
-
Tìm số phức z thỏa mãn \((1-i)(z+1-2 i)-3+2 i=0 .\)
-
Tìm số phức z , biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\overline z = 1 - 9i\)
-
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức \(z_{1}=1+5 i, z_{2}=3-i, z=6 .\). Khi đó M, N, P là 3 đỉnh của tam giác có tính chất:
-
Trong các số phức: \({\left( {1 + i} \right)^2},\;{\left( {1 + i} \right)^8},\;{\left( {1 + i} \right)^3},\;{\left( {1 + i} \right)^5}\) số phức nào là số thực?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z - \left( {2 + 3i} \right)\overline z = 1 - 9i\)
-
Điểm biểu diễn của các số phức \(z=n-n i \text { với } n \in \mathbb{R}\) , nằm trên đường thẳng có phương
trình là: -
Số phức \(z=(2-i)(1+2 i)^{2}\) có modun bằng
-
Phần thực và phần ảo của các số phức \(\frac{3}{{1 + 2i}}\) là:
-
Cho hai số phức:\(z_1 = 2-3i , z_2 = -1+ i\) . Phần ảo của số phức \(w = 2z_1z_2 \) bằng
-
Giả sử M, N, P, Q, đượccho ở hình vẽ bên là điểm biểu diễn của các số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\) trênmặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong các số phức z thỏa mãn |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.
-
Cho số phức \(z_{1}=-1+3 i ; z_{2}=2-2 i\) . Tính mô đun số phức \(w=z_{1}+z_{2}-5\)
