Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của S là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\).
Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) và \(f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)
Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;\,2} \right]\).
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3},\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2}\)
TH1: \(\frac{{2m + 1}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – \frac{1}{2}.\)
Trong trường hợp này ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{3m + 4}}{3}\).
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{3m + 4}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (thỏa mãn).
TH2: \(\frac{{3m + 4}}{3} \le 0 \Leftrightarrow m \le – \frac{4}{3}.\)
Trong trường hợp này ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{ – 2m – 1}}{2}\).
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}\) (thỏa mãn).
TH3: \(\frac{{2m + 1}}{2} < 0 < \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{4}{3} < m < – \frac{1}{2}.\)
+) Nếu \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} \le \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{{11}}{{12}} \le m < – \frac{1}{2}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{3m + 4}}{3}\)
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{3m + 4}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (không thỏa mãn).
+) Nếu \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} \ge \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{{11}}{{12}} \ge m > – \frac{4}{3}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{ – 2m – 1}}{2}\).
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{ – 2m – 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}\) (không thỏa mãn).
Vậy \(S = \left\{ {\frac{2}{3}; – \frac{5}{2}} \right\} \Rightarrow \left| S \right| = 2.\)
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x{(5 - 2x)^2}\) trên [0; 3] là:
-
Tìm tập giá trị T của hàm số \(y = x + \sqrt {4 – {x^2}} .\).
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}+3}{x-1}\) trên đoạn [2 ; 4] .
-
Cho hàm số \(f(x)=\sin ^{3} x-3 \sin x+2 .\) Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Khi đó là \(M+2 m\) là? -
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị của hàm số \(y=f^{\prime}(x)\) như hình vẽ sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x) \text { trên đoạn }[-1 ; 2]\) là?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x+6}{x-1}\) trên [2;4]
-
Tìm m để bất phương trình x2-5mx+9 ≥ 0 có nghiệm x ?
-
Hàm số y = x8 + (x4 – 1) 2 + 5 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ x1; x2. Khi đó tích x1.x2 có giá trị bằng:
-
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S=-2 t^{3}+18 t^{2}+2 t+1\) trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất là
-
Hàm số \(y=\sin x+1\)đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\) bằng:
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số:\(y=2 \sin ^{2} x+2 \sin x-1\) là:
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{11x - 1}}{{2x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ {2;6} \right]\)
-
Hàm số \(y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x+3}\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là:
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số\(g(x)=f\left(4 x-x^{2}\right)+\frac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+8 x+\frac{1}{3}\) trên đoạn [1;3]?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = – {x^4} + 4{x^2} – 5\) trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Biết \(f\left( { – 1} \right) = \frac{{13}}{4},f\left( 2 \right) = 6\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) – 3f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) bằng
-
Hình chữ nhật có chu vi không đổi là 8 m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Biết \(f\left( { – 1} \right) = \frac{{13}}{4},\,f\left( 2 \right) = 6\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) – 3f\left( x \right)\) trên \(\left[ { – 1;2} \right]\) bằng
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
\(\begin{equation} \text { Đặt } g(x)=f(\cos x) \text { . } \end{equation}\)Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2} + m}}{{x – 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A + B = \frac{{13}}{2}\).
