Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z-i|=5 \text { và } z^{2}\) là số thuần ảo?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=x+i y, x, y \in \mathbb{R} \text { . }\\ &|z-i|=5 \Leftrightarrow|x+i y-i|=5 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=5 \Leftrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}=25\\ &z^{2} \text { là số thuần ảo hay }(x+i y)^{2} \text { là số thuần ảo }\\ &\Leftrightarrow x^{2}+2 i x y-y^{2} \text { là số thuần ảo } \Rightarrow x^{2}-y^{2}=0 \Leftrightarrow x=\pm y\\ &\text { Vậy ta có hệ phương trình: }\left\{\begin{array}{l} x^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=y \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} x^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=-y \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=y \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=-y \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y^{2}-y-12=0 \\ x=y \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y^{2}-y-12=0 \\ x=-y \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=4 \\ x=4 \end{array}\right. \text { hoăc }\left\{\begin{array}{l} y=-3 \\ x=-3 \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y=4 \\ x=-4 \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y=-3 \\ x=3 \end{array}\right. \end{aligned}.\)
Vậy ta có 4 số phức thỏa mãn điều kiện trên.
Câu hỏi liên quan
-
Cho z thỏa \(|z-1-2 i|=|z+3 i-1|\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z-2+2 i|\) bằng
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho các số phức z1 = 3i,z2 = m - 2i . Số giá trị nguyên của m để \( \left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right|\)
-
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức \(\left| {2z + i} \right| = \left| {2\overline z – 3i + 1} \right|\). Tìm các điểm M biểu diễn số phức z để MA ngắn nhất, với \(A\left( {1;\frac{3}{4}} \right)\).
-
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 3i} \right| = \left| {z + 2 – i} \right|.\) Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \((1+i) z+(2-i) \bar{z}=13+2 i ?\)
-
Tìm các số thực x, y thỏa mãn \(\frac{x(3-2 i)}{2+3 i}+y(1-2 i)^{2}=6-5 i\)
-
Cho số phức z có phần ảo khác 0 thỏa mãn \(\left| {z – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\). Tìm mô đun của số phức w = 1 + i – z
-
Cho số phức \(z=1-3 i\). Tìm số phức \(w=i z+\bar{z}-1\)
-
Số phức liên hợp của số phức (z = 3i + 2 ) là:
-
Tìm tất cả các số thực x , y sao cho \(x^{2}-1+y i=-1+2 i\)?
-
Giải phương trình: \( (5 - 7i) + \sqrt 3 x = (2 - 5i)(1 + 3i)\)
-
Cho \(z_1; z_2\) , là các nghiệm phức của phương trình \(z^{2}+4 z+13=0\) . Tính \(m=\left|\left(z_{1}-2\right)^{2}\right|+\left|\left(z_{2}-2\right)^{2}\right|\)
-
Gọi \(z_1;z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-z+1=0\). Giá trị của \(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\) bằng.
-
Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức \(i z+2 \bar{z}=1+2 i\)
-
Cho \(z_1;z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(z^{2}+2 z+3=0\). Tính \(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)
-
Kí hiệu \(z_{1}, z_{2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-3 z+5=0\) . Giá trị của \(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)
-
Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình \(z^{2}-4 z+5=0\) . Giá trị của \(\left(z_{1}-1\right)^{2018}+\left(z_{2}-1\right)^{2018}\) bằng
-
Cho số phức z thỏa \(\left|z^{2}+4\right|=\left|z^{2}+2 i z\right|\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z+i|\)
-
Cho số phức z = (3 - 2i)(1 + i)2. Môđun của w = iz + z là
