Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z-i|=5 \text { và } z^{2}\) là số thuần ảo?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=x+i y, x, y \in \mathbb{R} \text { . }\\ &|z-i|=5 \Leftrightarrow|x+i y-i|=5 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=5 \Leftrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}=25\\ &z^{2} \text { là số thuần ảo hay }(x+i y)^{2} \text { là số thuần ảo }\\ &\Leftrightarrow x^{2}+2 i x y-y^{2} \text { là số thuần ảo } \Rightarrow x^{2}-y^{2}=0 \Leftrightarrow x=\pm y\\ &\text { Vậy ta có hệ phương trình: }\left\{\begin{array}{l} x^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=y \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} x^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=-y \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=y \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y^{2}+(y-1)^{2}=25 \\ x=-y \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y^{2}-y-12=0 \\ x=y \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y^{2}-y-12=0 \\ x=-y \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y=4 \\ x=4 \end{array}\right. \text { hoăc }\left\{\begin{array}{l} y=-3 \\ x=-3 \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y=4 \\ x=-4 \end{array}\right. \text { hoặc }\left\{\begin{array}{l} y=-3 \\ x=3 \end{array}\right. \end{aligned}.\)
Vậy ta có 4 số phức thỏa mãn điều kiện trên.
