Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2 \right)\) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(x\ne 0;\,\,x\ne \sqrt{2}\).
Đặt \(t={{x}^{2}}-\sqrt{2}x\)\(\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2=t+2\)
\(\Rightarrow {{\log }_{3}}\left| t \right|={{\log }_{5}}\left( t+2 \right)\).
Đặt \({{\log }_{3}}\left| t \right|={{\log }_{5}}\left( t+2 \right)=u\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {\log _3}\left| t \right| = u\\ {\log _5}\left( {t + 2} \right) = u \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| t \right| = {3^u}\\ t + 2 = {5^u} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left| {{5}^{u}}-2 \right|={{3}^{u}}\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^u} - 2 = {3^u}\\ {5^u} - 2 = - {3^u} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^u} + {3^u} = 2\\ {3^u} + 2 = {5^u} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {5^u} + {3^u} = 2\quad \quad \quad \quad (1)\quad \\ {\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} = 1\quad (2) \end{array} \right..\)
Xét \(\left( 1 \right):{{5}^{u}}+{{3}^{u}}=2\)
Ta thấy \(u=0\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u=0\) là duy nhất.
Với \(u=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1=0\), phương trình này vô nghiệm.
Xét \(\left( 2 \right):{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{u}}+2{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{u}}=1\)
Ta thấy \(u=1\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u=1\) là duy nhất.
Với \(u=0\Rightarrow t=3\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-3=0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa \(x\ne 0;\,\,x\ne \sqrt{2}\).
