Tam giác ABC có ba đường trung tuyến \(m_{a}, m_{b}, m_{c}\) thỏa mãn \(5 m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\) . Khi đó tam giác này là tam giác gì?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left\{\begin{array}{l} m_{a}^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4} \\ m_{b}^{2}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4} \\ m_{c}^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-\frac{c^{2}}{4} \end{array}\right.\)
\(\begin{aligned} &\text { Mà: } 5 m_{a}^{2}=m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \Rightarrow 5\left(\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}\right)=\frac{a^{2}+c^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-\frac{c^{2}}{4}\\ &\Leftrightarrow 10 b^{2}+10 c^{2}-5 a^{2}=2 a^{2}+2 c^{2}-b^{2}+2 a^{2}+2 b^{2}-c^{2}\\ &\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2} \Rightarrow \operatorname{tam} \operatorname{giác} \Delta A B C \text { vuông. } \end{aligned}\)
