Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = 2\) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = \sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }},t > 0 \Rightarrow \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = \frac{1}{{{t^2}}}\)
Ta có pt: \(t + \frac{1}{{{t^2}}} = 2 \Leftrightarrow {t^3} - 2{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\ t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\)
So sánh với điều kiện t > 0 ta tìm được \(t = 1,t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Trường hợp 1: \(t = 1:\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 1 \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1\)
\( \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt {{x^2} - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1\\ {x^2} - 2x + 1 = {x^2} - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Trường hợp 2: \(t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1} = \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow x - \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\ {\left( {x - \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = {x^2} - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\ x = \frac{7}{2} \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset \end{array}\)