Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y\; = \;\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}$; y = 0; x = 1

A. $\frac{{2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\ln 3}}$

B. $\frac{{2\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\ln 3}}$

C. $\frac{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\ln 3}}$

D. $\frac{{\left( {2\sqrt 2 \; - 1} \right)}}{{\ln 3}}$

Sai A là đáp án đúng Xem lời giải

Chính xác Xem lời giải

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

ADSENSE

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng

Bài: Tích phân

Lời giải:

Báo sai

Ta có: $\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}\; = \;0\; \Leftrightarrow \;{3^x}\; = \;1 \Leftrightarrow x\; = \;0\;$. Rõ ràng $\frac{3^{x} - 1}{(3^{- x} + 1) \sqrt{3^{x} + 1}} \geq 0$ với mọi x ∈ [0; 1]

Do đó diện tích của hình phẳng là:

$\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}dx = \;\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}.\;{3^x}dx$

Đặt $t=\sqrt {{3^x} + 1} $, ta có khi x = 0 thì t = $\sqrt{2}$ , khi x = 1 thì t = 2 và 3^x = t² - 1

Suy ra 3^x ln3dx = 2tdt, hay ${3^x}dx\; = \;\frac{{2tdt}}{{\ln 3}}$. Khi đó ta có

$S = \frac{2}{{\ln 3}}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{{t^2} - 2}}{{{t^3}}}dt} = \frac{2}{{\ln 3}}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {1 - \frac{2}{{{t^2}}}} \right)dt} = \left. {\frac{2}{{\ln 3}}\left( {t + \frac{2}{t}} \right)} \right|_{\sqrt 2 }^2 = \frac{{2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\ln 3}}$

ADMICRO

YOMEDIA

Câu hỏi liên quan

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {(x - 6)^2}$ và $y = 6x - {x^2}$ là:
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)}\sin 2x\text{d}x$.
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} ; f^{\prime}(x)=-e^{x} \cdot f^{2}(x), \forall x \in \mathbb{R} \text { và } f(0)=\frac{1}{2}$ . Tính giá trị của $f(\ln 2)$?

ZUNIA12

Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;5] và f(5) = 10; $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGabmOzayaafaWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeiz % aiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaI1aaaniabgUIiYdGccqGH9aqpca % aIZaGaaGimaaaa!42BB! \int\limits_0^5 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x} = 30$. Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhaaSqa % aiaaicdaaeaacaaI1aaaniabgUIiYdaaaa!3F2B! \int\limits_0^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên R và thỏa mãn $f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2 \cos 2 x}$ . Tính $I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x$
Biết rằng $\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 3,\,\,\,\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} ?$
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
Tính $\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^{2x}}dx$
Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, có công thức là:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x^{2}-2 x$ , trục hoành, trục tung, đường thẳng x =1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 3 là:
Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{\sin x+1} 1$ là
Cho Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn $\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2} $. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx} $
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên ℝ và $f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$. Tính $I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {3;7} \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right)$ với $\forall x \in \left[ {3;7} \right]$ và $\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$. Tính $I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} $?
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [0 ; 1] và thỏa mãn $2 f(x)+3 f(1-x)=x \sqrt{1-x}.$ . Tính giá trị của $I=\int_{0}^{1} f(x) d x$
Cho f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $3 f^{\prime}(x) \cdot e^{f^{3}(x)-x^{2}-1}-\frac{2 x}{f^{2}(x)}=0$. Biết $f(0)=1$ , tính tích phân $I=\int_{0}^{\sqrt{7}} x \cdot f(x) \mathrm{d} x$?
Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\rm{e}}^{2x}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0}\\ {{x^2} + x + 2}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0} \end{array}} \right.$. Biết tích phân $\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)\;{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{c}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị a + b + c bằng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² và y = 2x là:
Cho hàm số f (x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f(0)=1$ và $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}-16 x^{2} \cdot f(x)=0 \text { với mọi } x \in[0 ; 1]$ .  Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{1} f(x) d x$ bằng