Trong không gian Oxyz, cho , có độ dài lần lượt là 1 và 2. Biết \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 3\) khi đó góc giữa 2 vectơ \(\vec a, \vec b\) là
 

Trong không gian \(O\,xyz\), cho mặt phẳng \((R):x + y – 2z + 2 = 0\) và đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.\) Đường thẳng \({\Delta _2}\) nằm trong mặt phẳng \((R)\) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \({\Delta _1}\) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính bán kính  R  của mặt cầu \((S ) :x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y = 0\)

Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1\,;2\,;2} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z + 3 = 0\) đồng thời cắt đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{1}\) có phương trình là?

Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm  \(A(2 ; 1 ; 3), B(1 ;-2 ; 1)\)và song song với đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=-1+t \\ y=2 t \\ z=-3-2 t \end{array}\right.\)

Trong không gian với hệt tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có \(A(1;1;1) , B (1; 2;1) , C (1;1; 2) , D (2; 2;1) .\) Tâm  I  mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  ABCD  là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng \(d: \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{3}\) đi qua những điểm nào sau đây?

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. H và K là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho \(B H=\frac{3 a}{4}, K D=x(0<x<a)\) . Tìm giá trị của x để hai mặt phẳng \((S A H) \text { và }(S A K)\) tạo với nhau một  góc bằng \(45^{\circ} .\) 

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm cạnh bên SC . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {3; – 2;1} \right), N\left( {0;1; – 1} \right)\). Tìm độ dài của đoạn thẳng MN.

Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ \(\overrightarrow a \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow b \left( {1;3;m} \right)\). Tìm m để \((\vec a,\vec b)=90^o\)
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I(1 ; 0 ;-3) và đi qua điểm M(2 ; 2 ;-1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;\,3;\, – 1} \right),B\left( {1;\,2;\,4} \right)\). Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB.

Cho tứ diện OABC với \(A\left( { - 4,0,0} \right);\,\,\,B\left( {0,6,0} \right);\,\,\,C\left( {0,0, - 8} \right)\). Mặt cầu (S) ngoại tiếp từ diện có tâm và bán kính là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I(-1 4;2) và có thể tích \(V=972 \pi\). Xác định phương trình của mặt cầu (S)

Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \(4 x+3 y-3 z+1=0\) có phương trình là. 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{2}\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{5}\). Phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng \(\Delta \) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}\)và đi qua điểm \(A'(0; 2;2)\)..
 

Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow i \sqrt 3 + \overrightarrow k ,\overrightarrow v = \overrightarrow j \sqrt 3 + \overrightarrow k \). Khi đó tích vô hướng  \(\vec u.\vec v\)bằng
 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 + t\\z = – 1 – 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\), \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc d, \(N\left( {4;4;1} \right)\). Khi độ dài MN ngắn nhất thì a + b + c bằng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm \(A(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 0 ; 3), B(0 ; 2 ; 0)\). Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(M A^{2}=M B^{2}+M C^{2}\) là mặt cầu có bán kính là: