Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có \(H\left( {2\,;\,2\,;\,1} \right), K\left( { – \frac{8}{3}\,;\,\frac{4}{3}\,;\,\frac{8}{3}} \right)\), O lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B,\,\,C\) trên các cạnh \(BC,\,\,AC,\,\,AB\). Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai điểm K, O cùng nhìn BC dưới một góc vuông). Suy ra \(\widehat {OKB} = \widehat {OCB}\,\left( 1 \right)\)
Ta có tứ giác KDHC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai điểm K, H cùng nhìn DC dưới một góc vuông). Suy ra \(\widehat {DKH} = \widehat {OCB}\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {DKH} = \widehat {OKB}\,\). Do đó BK là đường phân giác trong của \(\widehat {OKH}\) và AC là đường phân giác ngoài của \(\widehat {OKH}\).
Tương tự ta chứng mình được OC là đường phân giác trong của \(\widehat {KOH}\) và AB là đường phân giác ngoài của \(\widehat {KOH}\).
Ta có OK = 4, OH = 3, KH = 5.
Gọi I, J lần lượt là chân đường phân giác ngoài của \(\widehat {OKH}\) và \(\widehat {KOH}\).
Ta có \(I = AC \cap HO, \frac{{IO}}{{IH}} = \frac{{KO}}{{KH}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \overrightarrow {IO} = \frac{4}{5}\overrightarrow {IH} \Rightarrow I\left( { – 8\,;\, – 8\,;\, – 4} \right)\).
Ta có \(J = AB \cap KH, \frac{{JK}}{{JH}} = \frac{{OK}}{{OH}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \overrightarrow {JK} = \frac{4}{3}\overrightarrow {JH} \Rightarrow J\left( {16\,;\,4\,;\, – 4} \right)\).
Đường thẳng IK qua I nhận \(\overrightarrow {IK} = \left( {\frac{{16}}{3}\,;\,\frac{{28}}{3}\,;\,\frac{{20}}{3}} \right) = \frac{4}{3}\left( {4\,;\,7\,;\,5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình \(\left( {IK} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = – 8 + 4t\\y = – 8 + 7t\\z = – 4 + 5t\end{array} \right.\).
Đường thẳng OJ qua O nhận \(\overrightarrow {OJ} = \left( {16\,;\,4\,;\, – 4} \right) = 4\left( {4\,;\,1\,;\, – 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình \(\left( {OJ} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 4t’\\y = t’\\z = – t’\end{array} \right.\).
Khi đó \(A = IK \cap OJ\), giải hệ tìm được \(A\left( { – 4\,;\, – 1\,;\,1} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {IA} = \left( {4\,;\,7\,;\,5} \right)\) và \(\overrightarrow {IJ} = \left( {24\,;\,12\,;\,0} \right)\)
Ta tính \(\left[ {\overrightarrow {IA} \,,\,\overrightarrow {IJ} } \right] = \left( { – 60\,;\,120\,;\, – 120} \right) = – 60\left( {1\,;\, – 2\,;\,2} \right)\).
Khi đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1\,;\, – 2\,;\,2} \right)\) nên có phương trình \(d:\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta:\left\{\begin{array}{l} x=2 t \\ y=-1+1 \\ z=1 \end{array}\right.\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = z - 3\). Véc tơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1;2) và mặt phẳng (P): 2x-y+3z+1 = 0. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình:
-
Trong không gian Oxyz , cho \(A(1 ; 3 ;-2), B(3 ; 5 ;-12)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại N . Tính tỉ số \(\frac{B N}{A N}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng \(d_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=t_{1} \\ y=0,\,\,\, d_{2} \\ z=0 \end{array}:\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=t_{2} \\ z=0 \end{array}\right.\right.\) \(d_{3}:\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=0 \\ z=t_{3} \end{array}\right.\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H (3;2;1) và cắt ba đường thẳng \(d_1, d_2, d_3\) lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC
-
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\), vuông góc với đường thẳng d và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng \(\Delta \) có một véctơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;a;b} \right)\). Tính a + b.
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{2}\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{5}\). Phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng \(\Delta \) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1;0} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1;0;2} \right)\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của Oz?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) = (3; 4; 0), \(\overrightarrow v\) = (2; -1; 2) . Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0; 2; 0) và đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=4+3 t \\ y=2+t \\ z=-1+t \end{array}\right.\). Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; -3) , B(2;- 3;1) .
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng \(d_{1}: \frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1} \text { và } d_{2}: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}\)
-
Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1\,;3\,; – 5} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – 2y + 3z – 4 = 0\) có tọa độ là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm \(A(-1 ; 2 ; 1), B(-4 ; 2 ;-2), C(-1 ;-1 ;-2), D(-5 ;-5 ; 2)\). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:
-
Trong không gian Oxyz cho đường tròn \((C):\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4 = 0\\ x + z - 2 = 0 \end{array} \right.\)
(C) có tâm H và bán kính r bằng:
-
Nhà của ba bạn A,B,C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B như hình vẽ, biết AB =10 kmkmBC =25km, và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A,B di chuyển đến nhà bạn C theo đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50km/h . Hỏi 5MB+3MC bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?
.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – y + 2z = 1\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; – 3) và B(2; – 3;1) có phương trình tham số là
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;3), B(-3;0;-4). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?
