Trong không gian Oxyz, gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}\) và đi qua điểm \(M\left( {0;3;9} \right)\). Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng x – 2y + 2z + 2 = 0, 3x – 2 = 0. Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì tâm I thuộc đường thẳng \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}\) nên \(I = \left( {2t;3t;1 + 4t} \right)\)
Do I cách đều hai mặt phẳng nên ta có
\(\frac{{\left| {\left( {2t} \right) – 2\left( {3t} \right) + 2\left( {1 + 4t} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3\left( {2t} \right) – 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {2t + 2} \right| = \left| {3t – 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow I\left( {6;9;13} \right)\\t = – \frac{1}{5} \Rightarrow I\left( { – \frac{2}{5}; – \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)
Vì điểm I có hoành độ là số nguyên, do đó \(I\left( {6;9;13} \right)\)
\( \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( { – 6} \right)}^2} + {{\left( {3 – 9} \right)}^2} + {{\left( {9 – 13} \right)}^2}} = \sqrt {88} \).
Vậy, phương trình mặt cầu cần lập là: \({\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 13} \right)^2} = 88\).
