Trong không gian Oxyz, gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}\) và đi qua điểm \(M\left( {0;3;9} \right)\). Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng x – 2y + 2z + 2 = 0, 3x – 2 = 0. Phương trình của \(\left( S \right)\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì tâm I thuộc đường thẳng \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}\) nên \(I = \left( {2t;3t;1 + 4t} \right)\)
Do I cách đều hai mặt phẳng nên ta có
\(\frac{{\left| {\left( {2t} \right) – 2\left( {3t} \right) + 2\left( {1 + 4t} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3\left( {2t} \right) – 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \left| {2t + 2} \right| = \left| {3t – 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow I\left( {6;9;13} \right)\\t = – \frac{1}{5} \Rightarrow I\left( { – \frac{2}{5}; – \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)
Vì điểm I có hoành độ là số nguyên, do đó \(I\left( {6;9;13} \right)\)
\( \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( { – 6} \right)}^2} + {{\left( {3 – 9} \right)}^2} + {{\left( {9 – 13} \right)}^2}} = \sqrt {88} \).
Vậy, phương trình mặt cầu cần lập là: \({\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 13} \right)^2} = 88\).
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích của khối cầu có bán kính 3a bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=2a\), tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,BC=2a\sqrt{2}\), \(\cos \widehat{ACB}=\frac{1}{3}.\) Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\)
-
Cho mặt cầu \(S\left( O;R \right),A\) là một điểm ở trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng \({{60}^{0}}.\) Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và diện tích bằng \(32\pi .\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là
-
Cho hai khối cầu có bán kính lần lượt bằng a và 2a. Tỉ số thể tích của khối cầu nhỏ với thể tích của khối cầu lớn bằng:
-
Cho khối cầu có thể tích là \(36\pi\) . Diện tích mặt cầu đã cho bằng
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4\) và các điểm \(A\left( {4;0;0} \right), B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right), C\left( {1;4;0} \right), D\left( {4;4;0} \right)\). Gọi M là điểm thay đổi trên \(\left( {{S_1}} \right)\), N là điểm thay đổi trên \(\left( {{S_2}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC là
-
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
-
Mặt cầu (S) tâm I(2;1;−1) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với A(−12;1;1); B(0;−2;4); C(−5;−2;2). Tìm tọa độ tiếp điểm.
-
Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng d cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm A,B. Tính diện tích tam giác IAB.
-
Cho hình chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D.ABC bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – \left( {2m – 2} \right)x + 3my + \left( {6m – 2} \right)z – 7 = 0\). Gọi R là bán kính của \(\left( S \right)\), giá trị nhỏ nhất của R bằng:
-
Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 ,cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 ,cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 ,cm. Bán kính của viên billiards đó bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)\). Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và đi qua hai điểm A và $B có phương trình là
-
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ. Biết khoảng cách từ O tới Δ bằng d. Đường thẳng Δ tiếp xúc với S(O; R) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
-
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d. Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu S(O;R) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
-
Cho mặt cầu (S) tâm (O) bán kính 3cm. Điểm A nằm ngoài mặt cầu và cách O một khoảng bằng 5cm. Đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu, B là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng AB là:
-
Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1).
