Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 3;\,0;\,1} \right), B\left( {1;\, – 1;\,3} \right)\) và mặt phẳng (P):x – 2y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Khi đó phương trình của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(1\left( {x + 3} \right) – 2\left( {y – 0} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2z + 1 = 0\).
Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng \(\left( Q \right)\), khi đó đường thẳng BH đi qua \(B\left( {1;\, – 1;\,3} \right)\) và nhận \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {1;\, – 2;\,2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = – 1 – 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\)
Vì \(H = BH \cap \left( Q \right) \Rightarrow H \in BH \Rightarrow H\left( {1 + t;\, – 1 – 2t;\,3 + 2t} \right)\) và \(H \in \left( Q \right)\) nên ta có \(\left( {1 + t} \right) – 2\left( { – 1 – 2t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{{10}}{9} \Rightarrow H\left( { – \frac{1}{9};\,\frac{{11}}{9};\,\frac{7}{9}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{26}}{9};\,\frac{{11}}{9};\,\frac{{ – 2}}{9}} \right) = \frac{1}{9}\left( {26;\,11;\, – 2} \right)\)
Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d, khi đó
Ta có \(d\left( {B;\,d} \right) = BK \ge BH\) nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK = BH, do đó đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {26;\,11;\, – 2} \right)\) có phương trình chính tắc: \(d:\frac{{x + 3}}{{26}} = \frac{y}{{11}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\)
