Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).
.png)
Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA1 và OA2
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Vì A1 thuộc trục Ox nên toạ độ của A1 có dạng \(\left( {{x_{{A_1}}};\,\,0} \right).\)
Mà A1 thuộc (H) nên
\(\frac{{x_{_{{A_1}}}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow x_{_{{A_1}}}^2 = {a^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{{A_1}}} = a}\\ {{x_{{A_1}}} = - a} \end{array}} \right.\)
Ta thấy A1 nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên \({x_{{A_1}}} < 0 \Rightarrow {x_{{A_1}}} = - a \Rightarrow {A_1}(-a;{\rm{ }}0).\) Khi đó \(O{A_1}\; = \sqrt {{{\left( { - a - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} = a\,\)
Vậy OA1 = a.
+) Vì A2 thuộc trục Ox nên toạ độ của A2 có dạng \(\left( {{x_{{A_2}}};\,\,0} \right).\)
Mà A2 thuộc (H) nên
\(\frac{{x_{_{{A_2}}}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow x_{_{{A_2}}}^2 = {a^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{{A_2}}} = a}\\ {{x_{{A_2}}} = - a} \end{array}} \right.\)
Ta thấy A2 nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên \({x_{{A_2}}} > 0 \Rightarrow {x_{{A_2}}} = a \Rightarrow {A_2}\left( {a;{\rm{ }}0} \right).\;\)
Khi đó \(O{A_2}\; = \;\sqrt {{{\left( {a - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\,\) (vì a > 0)
Vậy OA2 = a.
