Với mỗi cặp số thực \((x ; y) \text { thỏa mãn } \log _{2}(2 x+y)=\log _{4}\left(x^{2}+x y+7 y^{2}\right) \text { co }\) có bao nhiêu số thực z thỏa mãn \(\log _{3}(3 x+y)=\log _{9}\left(3 x^{2}+4 x y+z y^{2}\right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\text { Ta có: }\left\{\begin{array} { l } { \operatorname { l o g } _ { 2 } ( 2 x + y ) = \operatorname { l o g } _ { 4 } ( x ^ { 2 } + x y + 7 y ^ { 2 } ) } \\ { \operatorname { l o g } _ { 3 } ( 3 x + y ) = \operatorname { l o g } _ { 9 } ( 3 x ^ { 2 } + 4 x y + z y ^ { 2 } ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2 x+y>0,3 x+y>0 \\ \log _{2}(2 x+y)^{2}=\log _{2}\left(x^{2}+x y+7 y^{2}\right) \\ \log _{3}(3 x+y)^{2}=\log _{3}\left(3 x^{2}+4 x y+z y^{2}\right) \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 2 x + y > 0 , 3 x + y > 0 } \\ { ( 2 x + y ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + x y + 7 y ^ { 2 } } \\ { ( 3 x + y ) ^ { 2 } = 3 x ^ { 2 } + 4 x y + z y ^ { 2 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2 x+y>0,3 x+y>0 \\ 3 x^{2}+3 x y-6 y^{2}=0 \\ z=\frac{6 x^{2}+2 x y+y^{2}}{y^{2}} \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x+y>0,3 x+y>0 \\ 3(x-y)(x+2 y)=0 \\ z=\frac{6 x^{2}+2 x y+y^{2}}{y^{2}} \end{array}\right.\)
Với \(x-y=0 \Leftrightarrow x=y\) khi đó:
\(z=\frac{6 x^{2}+2 x^{2}+x^{2}}{x^{2}}=9\)
Với \(x+2 y=0 \Leftrightarrow x=-2 y\), Khi đó:
\(z=\frac{6(-2 y)^{2}+2(-2 y) y+y^{2}}{y^{2}}=21\)
vậy có 2 giá trị z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
