Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {ax + \sqrt {{x^2} + bx + 1} } \right) = \frac{1}{2}\). Tính \(A = 2a + b\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDễ thấy nếu \(a \le 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {ax + \sqrt {{x^2} + bx + 1} } \right) = + \infty \) nên không thỏa mãn.
Ta xét \(a > 0\).
Đặt
\(\begin{array}{l}L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {ax + \sqrt {{x^2} + bx + 1} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{a^2}{x^2} - \left( {{x^2} + bx + 1} \right)}}{{ax - \sqrt {{x^2} + bx + 1} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right){x^2} - bx - 1}}{{ax - \sqrt {{x^2} + bx + 1} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right){x^2} - bx - 1}}{{ax - \left| x \right|\sqrt {1 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right){x^2} - bx - 1}}{{ax + x\sqrt {1 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right){x^2} - bx - 1}}{{x\left( {a + \sqrt {1 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)}}\end{array}\)
Nếu \({a^2} - 1 \ne 0\) và \(a > 0\) thì \(L = \infty \) nên loại.
Do đó \({a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1\) (vì \(a > 0\)). Khi đó,
\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - bx - 1}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)}}\) \( = - \frac{b}{2}\)
\( \Rightarrow L = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{b}{2} = \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow b = - 1\).
\( \Rightarrow A = 2a + b = 2.1 + \left( { - 1} \right) = 1\)
