Cho hàm số \(y = {\rm{\;}} - {x^3} + 4{x^2} + 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;1} \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\). Tổng giá trị tất cả các phần tử của \(S\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = {\rm{\;}} - {x^3} + 4{x^2} + 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - 3{x^2} + 8x\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:
\(y = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( d \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {m;1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow 1 = \left( { - 3x_0^2 + 8{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) - x_0^3 + 4x_0^2 + 1}\\{ \Leftrightarrow - 3mx_0^2 + 8m{x_0} + 3x_0^3 - 8x_0^2 - x_0^3 + 4x_0^2 = 0}\\{ \Leftrightarrow 2x_0^3 - \left( {3m + 4} \right)x_0^2 + 8m{x_0} = 0}\\{ \Leftrightarrow {x_0}\left[ {2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m} \right] = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{2x_0^2 - \left( {3m + 4} \right){x_0} + 8m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\) thì phương trình (*) hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 0\) hoặc có nghiệm kép \({x_0} \ne 0\).
TH1: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 0\).
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {3m + 4} \right)}^2} - 64m > 0}\\{8m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{{4^2} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {luon{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dung} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 0\)
TH2: (*) có nghiệm kép \({x_0} \ne 0\).
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {3m + 4} \right)}^2} - 64m = 0}\\{8m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9{m^2} - 40m + 16 = 0}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 4}\\{m = \dfrac{4}{9}}\end{array}} \right.\).
Vậy \(S = \left\{ {0;4;\dfrac{4}{9}} \right\}\).
Chọn B.
Đề thi giữa HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Nguyễn Trãi
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) có đồ thị như hình vẽ sau
.png)
Tìm các giá trị của m đề phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có hai nghiệm
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) + m= 0 có ba nghiệm phân biệt là:
-
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\).
-
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ?
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1} }{ {x + 2}}\) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình là:
-
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là
-
Khi tăng kích thước mỗi cạnh của khối hộp chữ nhật lên 5 lần thì thể tích khối hộp chữ nhật tăng bao nhiêu lần?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có bốn nghiệm phân biệt.
.jpg)
-
Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h
-
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 5\) và trục hoành.
-
Gọi M, N là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và đường thẳng d: y = x + 2. Hoành độ trung điểm I của đoạn MN là
-
Khối lập phương là khối đa diện đều loại
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V, khi đó thể tích của khối chóp A’.ABC là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như dưới đây.
.png)
Mệnh đề nào sau đây sai ?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị của hàm\(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - 2} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai ?
.jpg)
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {\cos ^3}x - 3{\sin ^2}x - m\cos x - 1\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right].\)
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là:
-
Điều kiện của tham số m đề hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^3}}}{ 3} + {x^2} + mx\) nghịch biến trên R là
