Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân với \(AB//CD\), \(AB = 2a,AD = CD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy là trung điểm của \(AC\). Biết góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(45^\circ \), tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\). Theo giả thiết thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc tạo bởi \(SC\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SC\) và \(CH\). Do đó \(\widehat {SCH} = 45^\circ \)
Qua \(C\) kẻ \(CK \bot AB\left( {K \in AB} \right)\).
\(ABCD\) là hình thang cân nên \(KB = \dfrac{{AB - CD}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\) nên \(KC = \sqrt {B{C^2} - K{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Tam giác \(AKC\) vuông tại \(K\) nên \(AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 a\)
Suy ra \(HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {SCH} = 45^\circ \) nên tam giác \(SHC\) vuông cân tại \(H\). Do đó \(SH = HC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CK.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.3a = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4} = \dfrac{3}{8}{a^3}\)
Chọn D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Mai Thúc Loan
Câu hỏi liên quan
-
Số điểm cực trị của hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 4{x^2} + 3\) là
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây đúng?
.png)
-
Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) cạnh là \(2a\). Gọi \(S\) là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Khi đó:
-
Một hình đa diện có các mặt là các tam giác. Gọi \(M\) và \(C\) lần lượt là số mặt và số cạnh của hình đã diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Khoảng đồng biến của hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) là:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = a;AD = 2a\), góc giữa \(SC\) và mặt đáy là \(45^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
-
Cho \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {\dfrac{1}{5}} \right) = a\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 2} \right)\dfrac{{{x^3}}}{3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m - 8} \right)x + {m^2} - 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
-
Biết \({\log _2}x = 6{\log _4}a - 4{\log _2}\sqrt b - {\log _{\dfrac{1}{2}}}c\), với \(a,b,c\) là các số thực dương bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), biết \(AC' = a\sqrt 6 \)
-
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({9^x} - 2m{.3^x} + {m^2} - 8m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2\). Tính tổng các phần tử của \(S\).
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\) \(AD = 2a,\) \(AA' = 3a\). Thể tích khối nón có đỉnh trùng với tâm của hình chữ nhật \(ABCD\), đường tròn đáy ngoại tiếp hình chữ nhật \(A'B'C'D'\) là
-
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) là
-
Hàm số \(f\left( x \right) = \log \left( {{x^{2019}} - 2020x} \right)\) có đạo hàm là
-
Cho hàm số \(y = {\log _2}{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Với \(a,b\) là hai số thực dương và \(a \ne 1\), \({\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right)\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\)
