Tìm m để bất phương trình \({x^2} + m + 4\sqrt {(x + 2)(4 - x)} \ge 2x + 18\) có nghiệm.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 4\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + m + 4\sqrt {(x + 2)(4 - x)} \ge 2x + 18\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 8 - 4\sqrt { - {x^2} + 2x + 8} + 10 \le m\end{array}\)
Đặt \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 8} = t\,\,\,\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
Ta có: \( - {x^2} + 2x + 8 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 9 \le 9\) với mọi \(x \in \left[ { - 2;4} \right]\)
\( \Rightarrow 0 \le t \le 3\)
Đề bài trở thành: Tìm m để bất phương trình \({t^2} - 4t + 10 \le m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {0;3} \right]\)
\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{t^2} - 4t + 10} \right)\)
Xét \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 10\) ta có bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình \({t^2} - 4t + 10 \le m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {0;3} \right]\) \( \Leftrightarrow m \ge 10.\)
Chọn D.
Đề thi HK2 môn Toán 10 năm 2021-2022
Trường THPT Nguyễn Hữu Thọ