Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa 2 đường thẳng \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 3}}\) và \({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}.\) Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 3}}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_1}} {\rm{\;}} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\) và đi qua \({M_1}\left( {2; - 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right)\)
\({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_2}} {\rm{\;}} = \left( { - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\) và đi qua \({M_2}\left( { - 1; - 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right)\)
Ta thấy \(\overrightarrow {{u_1}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {{u_2}} {\rm{\;}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}\)
Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\rm{\;}} = \left( { - 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0; - 3} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \({d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_P}} {\rm{\;}} \bot \overrightarrow {{u_1}} }\\{\overrightarrow {{n_P}} {\rm{\;}} \bot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} {\rm{\;}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]\)\( = \left( {3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15; - 3} \right) = 3\left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \left( P \right)\) nhận vecto \(\vec n{\rm{\;}} = \left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5; - 1} \right)\) làm VTPT.
\( \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_1}\left( {2; - 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right)\) và nhận vecto \(\vec n{\rm{\;}} = \left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5; - 1} \right)\) làm VTPT có phương trình:
\(x - 2 + 5\left( {y + 3} \right) - \left( {z - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 5y - z + 18 = 0\)
Chọn C.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Lạc Long Quân
