Cho ba số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) thỏa mãn \(z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 \text { và }\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1\)1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 \text { và }\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1\) nên các điểm biểu diễn của \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy là ABC đều thuộc đường tròn đơn vị và ABC tạo thành tam giác đều.
Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm biểu diễn nên ta có thể cho: \(z_{1}=1, z_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\) .
Thay vào ta được \(\left|z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}\right|=0 \text { và }\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|=0\)
Vậy \(\left|z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}\right|=\left|z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right|\)