Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(f(2)=3, \int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4 \text { và } \int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} . \text { Tích phân } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} \Rightarrow \int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1\)
\(\begin{array}{l}
\text { Tính: } I=\int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x \\
\text { Đặt: }\left\{\begin{array}{l}
u=f(x) \\
\mathrm{d} v=3 x^{2} \mathrm{~d} x
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\
v=x^{3}
\end{array}\right.\right. \\
\text { Ta có: } I=\int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left.x^{3} \cdot f(x)\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=24-\int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x,(\text { vì } f(2)=3)
\end{array}\)
\(\begin{aligned} &\text { Mà: } I=\int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1 \Rightarrow 1=24-\int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=23 \Leftrightarrow \frac{4}{23} \int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=4\\ &\Leftrightarrow \frac{4}{23} \int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x, \quad \text { (theo } \quad \text { giả } \quad \text { thiết: } \left.\quad \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4\right)\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{2}\left[\frac{4}{23} x^{3} \cdot f^{\prime}(x)-\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\right] \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f^{\prime}(x)\left[\frac{4}{23} x^{3}-f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=0\\ &\Rightarrow \frac{4}{23} x^{3}-f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{4}{23} x^{3} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{23} x^{4}+C \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Với } f(2)=3 \Rightarrow 3=\frac{16}{23}+C \Rightarrow C=\frac{53}{23} . \\ \text { Khi đó: } f(x)=\frac{1}{23} x^{4}+\frac{53}{23} . \\ \text { Vậy } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{23} x^{4}+\frac{53}{23}\right) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{1}{115} x^{5}+\frac{53}{23} x\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{562}{115} . \end{array}\)
